Äquivalenzrelation

01.11.2022, 18:40	WNic	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation Meine Frage: Mit eine surjektive Funktion f: R -> R , sollte man zeigen dass durch A := {(x,y)E RxR: f(x) = f(y)} eine Äquivalenzrelation auf R gegeben ist. Und muss man eine Bijektion finden zwischen R und der Menge der Äquivalenklassen von A. Wie gehe ich mit diese Aufgabe vor ? Meine Ideen: Muss ich zuerst zeigen, ob der Menge A reflexiv, symmetrisch und transitiv ist ?
01.11.2022, 20:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
R sollen wohl die reellen Zahlen sein. Wenn man Punkte mit gleichem Funktionswert nicht unterscheidet, gibt es nicht viele Möglichkeiten für die Aequivalenzklassen. Zu jeder Klasseneinteilung einer Menge gehört genau eine Aequivalenzrelation. Die gesuchte Bijektion ist so gut wie gefunden. Fertig, du darfst es noch etwas "feierlicher" formulieren.
02.11.2022, 14:59	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} f\colon X\to Y \end{eqnarray}$ surjektiv. Sei $\begin{eqnarray} a\sim b \end{eqnarray}$ gdw. $\begin{eqnarray} f(a)=f(b). \end{eqnarray}$ Behauptung. Durch $\begin{eqnarray} \varphi\colon Y\to X/{\sim} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \varphi(y):=f^{-1}(\{y\}) \end{eqnarray}$ ist eine Bijektion definiert. Beweis. Man betrachte $\begin{eqnarray} \eta(y):=\{y\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (Ff)(B) := f^{-1}(B). \end{eqnarray}$ Man kann zeigen, dass $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ein kontravarianter Funktor ist. Das heißt, es gilt $\begin{eqnarray} F(\operatorname{id})=\operatorname{id} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F(f\circ g) = (Fg)\circ (Ff) \end{eqnarray}$ für beliebige $\begin{eqnarray} f,g. \end{eqnarray}$ Weil $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ surjektiv ist, existiert eine Rechtsinverse $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f\circ g = \operatorname{id}. \end{eqnarray}$ Ergo gilt $\begin{eqnarray} \operatorname{id} = F(\operatorname{id}) = F(f\circ g) = (Fg)\circ (Ff). \end{eqnarray}$ Somit ist $\begin{eqnarray} Fg \end{eqnarray}$ eine Linksinverse von $\begin{eqnarray} Ff. \end{eqnarray}$ Folglich ist $\begin{eqnarray} Ff \end{eqnarray}$ injektiv, womit ebenso die Verkettung $\begin{eqnarray} \varphi = (Ff)\circ \eta \end{eqnarray}$ injektiv ist, denn $\begin{eqnarray} \eta \end{eqnarray}$ ist ja eine Injektion. Weiterhin wurde die Äquivalenzrelation so definiert, dass für die Quotientenabbildung $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ die Gleichung $\begin{eqnarray} \pi=\varphi\circ f \end{eqnarray}$ gilt, denn $\begin{eqnarray} (\varphi\circ f)(x) = f^{-1}(\{f(x)\}) = \{a\in X\mid f(a)\in \{f(x)\}\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \{a\in X\mid f(a)=f(x)\} = \{a\in X\mid a\sim x\} = \pi(x). \end{eqnarray}$ Weil $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ surjektiv ist, gilt $\begin{eqnarray} Y=f(X). \end{eqnarray}$ Infolge gilt $\begin{eqnarray} \varphi(Y) = \varphi(f(X)) = (\varphi\circ f)(X) = \pi(X) = X/{\sim}. \end{eqnarray}$ Ergo ist $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ wohldefiniert und surjektiv.
02.11.2022, 15:35	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternative zu meinem ersten Argument. Gemäß der universellen Eigenschaft der Quotientenmenge existiert genau eine Abbildung $\begin{eqnarray} \overline f \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f = \overline f\circ\pi = \overline f\circ\varphi\circ f. \end{eqnarray}$ Nun ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ als Surjektion rechtskürzbar, weil ja eine Rechtsinverse existiert. Es verbleibt $\begin{eqnarray} \operatorname{id} = \overline f\circ\varphi, \end{eqnarray}$ womit es sich bei $\begin{eqnarray} \overline f \end{eqnarray}$ um eine Linksinverse von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ handelt, womit $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ injektiv sein muss.
03.11.2022, 00:10	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist jetzt noch aufgefallen, dass sich das Argument zur Surjektivität gleichermaßen führen lässt. Aus $\begin{eqnarray} \pi=\varphi\circ f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f = \overline f\circ\pi \end{eqnarray}$ erhält man $\begin{eqnarray} \pi = \varphi\circ\overline f\circ\pi. \end{eqnarray}$ Als Surjektion ist $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ rechtskürzbar. So erhält man $\begin{eqnarray} \operatorname{id} = \varphi\circ\overline f, \end{eqnarray}$ womit $\begin{eqnarray} \overline f \end{eqnarray}$ eine Rechtsinverse von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist, womit $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ surjektiv sein muss. Die beiden ungekürzten Gleichungen besagen, dass das Diagramm $\begin{eqnarray} \begin{array}{ccc}X & \xrightarrow{\textstyle\quad\pi\quad} & X/{\sim}\\ & {}_{\textstyle f}{\large\searrow} & \overline f\bigg\downarrow\bigg\uparrow \varphi\\ & & Y\end{array} \end{eqnarray}$ kommutiert. Die Surjektivität von $\begin{eqnarray} \pi,f \end{eqnarray}$ ermöglicht es insofern, diese jeweils aus dem Diagramm streichen und gegen id-Kringel ersetzen zu dürfen. In gewisser Hinsicht entpuppt sich $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} X/{\sim}, \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} \pi. \end{eqnarray}$ Jedes $\begin{eqnarray} y\in Y \end{eqnarray}$ steht für genau eine der disjunkten Fasern. Die Fasern sind die Äquivalenzklassen. Die Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist so wie $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ konstant auf den Fasern.

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