Umkehrfunktion

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andyrue Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktion
hallo, ich habe eine kurze frage zur umkehrfunktion einer funktion für die ich im netz keine antwort gefunden habe.

es geht nicht um eine konkrete rechnung, sondern um eine entscheidungsregel, sofern es die überhaupt gibt.

also: nur wenn eine funktion überall bijektiv ist, hat sie eine umkehrfunktion im kompletten definitionsbereich, kann also ohne einschränkungen umgekehrt werden, z.b. f(x) = x^3 oder f(x) = e^x


bei z.b. f(x) = sin(x) ist das nicht so, nun habe ich mir die umkehrfunktion angesehen, die geogebra mir geliefert hat, da wurde also von der sinusfunktion der (bijektive) bereich von -pi/2 bis pi/2 genommen und der wurde dann umgekehrt.

aber und darauf bezieht sich meine frage: warum genau dieser bereich? man hätte als definitionsbereich doch auch den bereich von 1,5pi bis 2,5pi wählen können, der bereich ist auch bijektiv.

oder, anderes beispiel: y = x^2
warum nimmt man den 'positiven ast' und nicht den negativen?

gibt es da eine regel, etwa so: für den definitionsbereich der umzukehrenden funktion nimmt man den positiven bijektiven bereich, der am nächsten beim ursprung liegt?

andy
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurze Frage zur Umkehrfunktion
Zitat:
Original von andyrue
bei z.b. f(x) = sin(x) ist das nicht so, nun habe ich mir die umkehrfunktion angesehen, die geogebra mir geliefert hat, da wurde also von der sinusfunktion der (bijektive) bereich von -pi/2 bis pi/2 genommen und der wurde dann umgekehrt.

aber und darauf bezieht sich meine frage: warum genau dieser bereich? man hätte als definitionsbereich doch auch den bereich von 1,5pi bis 2,5pi wählen können, der bereich ist auch bijektiv.


Funktionen sind bijektiv oder nicht. Die Eigenschaft "bijektiv" kommt nicht "Bereichen" zu.
Sonst ist es richtig, was du sagst. Die von Geogebra gelieferte Umkehrfunktion ist diejenige, die man historisch in der Mathematik der reellen Zahlen schon immer Arcussinus genannt hat. Aber auch auf jedem andern Intervall, auf dem der Sinus streng monoton und damit bijektiv ist, kann man eine Umkehrfunktion angeben. Sie hat eben nur keinen bekannten Namen.
Daß man gerade das Intervall von bis nimmt, um die Sinusfunktion zur Arcussinusfunktion umzukehren, dürfte historisch-praktische Gründe haben. Damit deckt man zum Beispiel die Winkel ab, die in rechtwinkligen Dreiecken vorkommen. Zudem liegt das Intervall schön symmetrisch zur Null (was man beim Umkehren der Cosinusfunktion nicht erreichen kann).

Zitat:
Original von andyrue
oder, anderes beispiel: y = x^2
warum nimmt man den 'positiven ast' und nicht den negativen?


Weil positiv schöner als negativ ist. Eine bessere Antwort habe ich nicht.
Man könnte die Umkehrung der Quadratfunktion auf dem "negativen Ast" einmal nennen (was an Wurzel erinnern soll). Für würde dann das folgende Wurzelgesetz gelten:

für

Etwas gewöhnungsbedürftig, wenn auch korrekt. Da gefällt uns das Wurzelgesetz für die "normale" Wurzelfunktion doch besser.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von andyrue
man hätte als definitionsbereich doch auch den bereich von 1,5pi bis 2,5pi wählen können, der bereich ist auch bijektiv.

Ja, hätte man. Aber ehrlich: Findest du das praktischer, dieses Intervall als Referenz zu nehmen statt des symmetrischen Intervalls um den Nullpunkt? Augenzwinkern

Zitat:
Original von andyrue
oder, anderes beispiel: y = x^2
warum nimmt man den 'positiven ast' und nicht den negativen?

Auch hier: Ja, hätte man. Aber was ist so toll dran, grundsätzliche negative Wurzelwerte zu haben? Wenn dann die Formel für die Hypotenusenlänge ist - ja, macht bestimmt viel Spaß die vielen zusätzlichen negativen Vorzeichen in den Formeln. Big Laugh
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Wurzel könnte man auch kreativer werden. So kann man auch

definieren alternativ zur "klassischen" -Wurzelfunktion definieren. Ich garantiere es macht keinen Spaß damit zu arbeiten Big Laugh

Wenn ich mich nicht vertue müsste dann gelten .
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@IfindU

Nur nicht mittendrin aufhören! Für eine beliebige Teilmenge von sei die modifizierte Indikatorfunktion von mit



Jetzt definiere man für jedes die -Wurzel durch



worin selbstverständlich die gewöhnliche nichtnegative reelle Wurzel bezeichnet. Jetzt kann sich andyrue seine Lieblingswurzelfunktion aussuchen, zum Beispiel klassisch



oder antiklassisch



oder nach IfindU . Der Phantasie sind keine Grenzen gesetzt, das Cantorsche Diskontinuum ist ebenso ein Kandidat wie eine beliebige Vitalimenge . Oder wie wäre es mit der Menge aller besonders auffälligen reellen Zahlen. Wir können uns sicher darauf einigen, daß alle natürlichen Zahlen, sogar alle rationalen Zahlen besonders auffällig sind (sonst hätten sie ja keine eigene Bezeichnung). Und auch sind besonders auffällig. Wie es aber mit oder



ist, weiß ich nicht. Doch! Ich weiß es doch! Auch diese Zahlen sind auffällig. Sie sind mir ja gerade aufgefallen...
hilbert23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurze Frage zur Umkehrfunktion
@Leopold:

Das Wurzelgesetz für deine Funktion W muss heißen:

W(-ab) = W(a)W(b) für a,b <= 0

Bei deiner Formulierung des Wurzelgesetzes:

W(ab)=&#8722;W(a)W(b) für a,b >= 0

befindest du dich nicht im Definitionsbereich der Funktion W.

Na ja, schöner wird das Gesetz dadurch auch nicht, aber richtiger.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurze Frage zur Umkehrfunktion
Zitat:
Original von hilbert23
@Leopold:

Das Wurzelgesetz für deine Funktion W muss heißen:

W(-ab) = ...


Weiter brauche ich nicht zu lesen, denn das kann nichts mehr werden. Außer für oder ist bei gar nicht definiert, da negativ ist.
Irgendwie scheinst du mir mit Definitions- und Wertebereich durcheinandergekommen zu sein. Wurzeln benötigen nichtnegative Eingaben.

Beispiel:

hilbert23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurze Frage zur Umkehrfunktion
Hier eine noch lesbarere Antwortvon mir:

@Leopold:

Das Wurzelgesetz für deine Funktion W muss heißen:

W(-ab) = W(a)W(b) für a,b <= 0

Bei deiner Formulierung des Wurzelgesetzes:

W(ab)=-W(a)W(b) für a,b >= 0

befindest du dich nicht im Definitionsbereich der Funktion W.

Na ja, schöner wird das Gesetz dadurch auch nicht, aber richtiger.
hilbert23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurze Frage zur Umkehrfunktion
Bei deiner Funktion W ist W(&#8722;36) sehr wohl definiert.
hilbert23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurze Frage zur Umkehrfunktion
Deine wahnsinnige Funktion W braucht einen negativen Input.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurze Frage zur Umkehrfunktion
Zitat:
Original von hilbert23
Deine wahnsinnige Funktion W braucht einen negativen Input.


Das ist falsch. Die Quadratfunktion liefert keine negativen Ausgaben. Daher kann eine wie auch immer geartete Wurzelfunktion keine negativen Eingaben entgegennehmen.
Was ich über Definitions- und Wertebereich bereits gesagt habe, brauche ich nicht zu wiederholen.

Ergänzung (Edit)

Die Funktion , von der ich in meinem ersten Beitrag gesprochen habe, ist



Sie ist die Umkehrfunktion der Quadratfunktion mit . Die beiden Richtungen:





Es ist daher und .
hilbert23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurze Frage zur Umkehrfunktion
Wenn man eine, wie auch immer geartete, Funktion auf dem "negativen Ast" definiert hat wie du, gehe ich erst mal davon aus, dass du diese Funktion nur für Zahlen <= 0 erklärt hast.

Langsam glaube ich, wir haben ein Sprachproblem.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe sie nicht auf dem negativen Ast definiert, sondern auf dem negativen Ast umgekehrt.

Zitat:
Original von hilbert23
Langsam glaube ich, wir haben ein Sprachproblem.


Nein, du hast ein Verständnisproblem. Ich wiederhole es zum dritten Mal: Definitions- und Wertebereich. Das bringst du durcheinander.
hilbert23 Auf diesen Beitrag antworten »

Glaubst du nicht auch, dass der User "andyrue" bei deiner ursprünglichen Formulierung von "negativem Ast", eher an einen Definitionsbereich gedacht hat?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Aber Definitionsbereich wovon? Wir haben hier schließlich zwei Funktionen, eine Quadrat- und eine Wurzelfunktion.

Einmal ganz ausführlich.

Wir betrachten die Quadratfunktion auf ihrem "negativen Ast". Das ist eine flapsige Redeweise, die ich von andyrue übernommen habe. Deswegen auch die anfänglichen Anführungszeichen. Negativ bedeutet aber hier: negative Abszissen, die Ordinaten bleiben positiv, denn Quadrieren liefert keine negativen Werte. Reden wir besser vom linken Parabelast.

Mit bezeichne ich den Definitionsbereich, mit den Wertebereich einer Funktion.




Beim Umkehren tauschen Definitions- und Wertebereich ihre Rollen:




und habe ich vorhin schon untersucht.
hilbert23 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht meldet sich "andyrue" ja noch mal selbst und erklärt, wie er das Ganze verstanden hat.
hilbert23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrfunktion
Dir obliegt nun die Aufgabe, dem User "andyrue" seine ursprüngliche Fragestellung mit didaktischem Geschick und viel pädogogischem Feingefühl beizukommen.

Denn, und dabei bleibe ich: Der User "andyrue" denkt, dass du mit dem "nagativen Ast" einen Definitiosbereich gemeint hast und nichts anderes.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Tatsache, daß man selbst etwas nicht versteht, bedeutet nicht, daß auch andere das nicht verstehen. Es ist alles gesagt.
andyrue Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hilbert23
Vielleicht meldet sich "andyrue" ja noch mal selbst und erklärt, wie er das Ganze verstanden hat.


leider driftet hier wieder eine diskussion ab. es ist ja ok wenn in einem matheforum diskussionen in die tiefe gehen, aber ich sag jetzt mal dass es auch eine kunst sein kann, einen mitunter komplexen sachverhalt so zu erklären dass er einfach erscheint. zumal wir uns hier noch in der kategorie 'schulmathe' befinden. (wobei der hier angesprochene sachverhalt ja eigentlich nicht sonderlich komplex ist smile )

ich hab in der angehängten skizze nochmal erklärt was ich eigentlich gefragt habe: warum wird der positive (rote) ast umgekehrt und nicht der negative (blaue)?

im mathebuch (und auch im netz) war darüber nur zu erfahren: wenn eine funktion nicht bijektiv ist, muss man - wenn man die umkehrfunktion bildet - den definitionsbereich einschränken. und damit zur eigentlichen frage: gibt es da eine entscheidungregel oder kann man sich selbst (definitions-)bereiche aussuchen, in welchen man die funktion dann umkehrt?

hintergrund: in beruflichen gymnasien in baden württemberg gibt es ab 2024 im matheabi erstmals einen grundkurs und einen leistungkurs (bisher gabs das nur in allgem. gymnasien). und da ist die umkehrfunktion im leistungskurs erstmals thema. ich hab das komplette kapitel dazu durchgearbeitet und keine antwort auf meine frage gefunden.

andy
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die beste Antwort hat Leopold zu Anfang gegeben: "Funktionen sind bijektiv oder nicht." Ich ergänze: Eine bijektive Funktion hat eine eindeutig bestimmte Umkehrfunktion. Eine nicht bijektive Funktion hat keine Umkehrfunktion.

Es gibt keine eindeutige Antwort, wenn man nicht bijektive Funktionen mit aller Gewalt umkehren will. Dann gibt es viele Möglichkeiten, aber jeder dieser Ansätze verändert den Definitionsbereich, den Zielbereich, den Wertebereich oder den Graphen der Funktion, also die Funktion.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von andyrue
im mathebuch (und auch im netz) war darüber nur zu erfahren: wenn eine funktion nicht bijektiv ist, muss man - wenn man die umkehrfunktion bildet - den definitionsbereich einschränken. und damit zur eigentlichen frage: gibt es da eine entscheidungregel oder kann man sich selbst (definitions-)bereiche aussuchen, in welchen man die funktion dann umkehrt?


Solange keine weiteren Vorgaben gemacht werden, kannst du dir selbst geeignete Definitionsbereiche aussuchen. Durch das Einschränken des Definitionsbereichs entsteht eine neue Funktion, auch wenn die Funktionsvorschrift erhalten bleibt. Ist diese bijektiv, kann man sie auch umkehren.

Aufgabe 1
Ist die Funktion umkehrbar?

Antwort: Nein, denn die Funktion ist nicht injektiv, da . (Die Funktion ist übrigens auch nicht surjektiv, aber es genügt, die Injektivität zu widerlegen. Dann kann die Funktion schon nicht mehr bijektiv sein.)

Aufgabe 2
Ist die Funktion umkehrbar?

Antwort: Nein, denn die Funktion ist nicht surjektiv, da der Zielbereich negative Zahlen enthält, das Quadrieren aber niemals negative Zahlen liefert.

Aufgabe 3
Geben Sie ein maximales Intervall der reellen Zahlen an, das enthält, so daß die Funktion umkehrbar ist. Geben Sie die Umkehrfunktion an.

Antwort: , denn die Funktion ist streng monoton wachsend mit und . Sie ist damit bijektiv, und ist ihre Umkehrfunktion. (Durch eine Vergrößerung von würde die Injektivität verloren gehen.)

Aufgabe 4
Geben Sie ein maximales Intervall der reellen Zahlen an, das enthält, so daß die Funktion umkehrbar ist. Geben Sie die Umkehrfunktion an.

Antwort: , denn die Funktion ist streng monoton fallend mit und . Sie ist damit bijektiv, und ist ihre Umkehrfunktion. (Durch eine Vergrößerung von würde die Injektivität verloren gehen.)

Aufgabe 5
Bestimmen Sie, falls möglich, ein Intervall der reellen Zahlen, so daß durch eine bijektive Funktion gegeben wird.
Geben Sie die Umkehrfunktion an.

Antwort: , denn ist streng monoton wachsend mit und , also bijektiv. Die Umkehrfunktion ist
andyrue Auf diesen Beitrag antworten »

aufgabe 2, dazu eine frage

ich hab die funkton f(x) = x^2 und beschränke die definitionsmenge auf [0, undendlich[

dann habe ich ja den rechten ast der parabel, sonst nichts.

dieser ast lässt sich doch gut an der ersten winkelhalbierenden spiegeln?


wäre statt



die funktion



umkehrbar?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, bijektiv = umkehrbar.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von andyrue
wäre statt



die funktion



umkehrbar?


siehe Aufgabe 3
andyrue Auf diesen Beitrag antworten »

die sache ist mir jetzt klar. vielen dank an alle, andy
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