Vollständige Induktion (b-a Teiler von b^n-a^n)

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Vollständige Induktion (b-a Teiler von b^n-a^n)
Meine Frage:
Hallo mal wieder,

Heute habe ich bei meiner Aufgabe nur die Bitte um Feedback, ob ich sie richtig gelöst habe smile .

Sie geht wie folgt:

Seien a,b in Z. Beweisen sie mit vollständiger Induktion, dass b-a eine Teiler von b^n-a^n für alle n in N

Meine Ideen:
Das hab ich wie folgt beweisen:

Für n = 1: Leicht beweisen, da b^1-a^1 = b-a, was durch b-a teilbar ist.

Für n = n+1: Es gilt: b-a ein Teiler für beliebigen n in N: Dann gilt für n+1:
b-a ein Teiler von b^(n+1)-a^(n+1):

b^(n+1)-a^(n+1) = b^n*b-a^n*a=(b-a)*((b^n/a)*(a^n/b)), was durch b-a teilbar ist, weil es b-a als Vorfaktor hat.

Ich bedanke mich wieder für alle Hilfestellungen und Verbesserungsvorschläge
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RE: Vollständige Induktion (b-a Teiler von b^n-a^n)
Nein, so geht es nicht denn warum sollte Teiler von sein?
Man kann sich hier wieder behelfen, indem man eine nahrhaften Null addiert
TryingToUnderstand Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion (b-a Teiler von b^n-a^n)
Wie immer erstmal danke für die Antwort Big Laugh .

Ich muss sagen, dass mir das mit der Null aber nicht wirklich weiter geholfen hat, weil bei mir immer noch ein Term übrig bleibt, der nicht durch b-a teilbar ist. Wenn ich die Null hinzufüge komme ich mit ein paar Umstellungen auf = b^n*(b-a)+b^n*a-a^n*a der erste Teil sollte wieder durch b-a teilbar sein wegen dem Vorfaktor, der nach dem + jedoch nicht.

Die Idee mit dem a als Teiler kam daher, dass ich im ersten Schritt je gezeigt hatte, dass b^1-a^1 durch b-a teilbar war, woraus ich gefolgert hatte, dass b^n*b-a^n*a auch durch b-a teilbar sein sollte smile .

Ich habs mal damit versucht, die Null noch mit a^n*b-a^n*b zu erweitern. Damit bin ich weitergekommen, denk ich:

=b^n(b-a)-a^n(b-a)+b^n*a-a^n*a=(b-a)(b^n-a^n)+b^n*a-a^n*a

Im Prinzip ist (b^n-a^n) jetzt durch b-a teilbar, nur glaub ich nicht, dass das als Beweis reicht wegen dem Zusatz. verwirrt
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RE: Vollständige Induktion (b-a Teiler von b^n-a^n)
Natürlich ist durch b-a teilbar. Hast du deine Induktionsvoraussetzung schon irgendwo benutzt?
TryingToUnderstand Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion (b-a Teiler von b^n-a^n)
Hallo nochmal. Ich war etwas beschäftigt, deswegen kommt meine Antwort etwas spät, Sorry smile .

Also zu deiner Antwort: Ich hätte es so gelöst::

Voraussetzungen ist ja, dass b-a Teiler für beliebiges N. Dann mit , was durch b-a teilbar ist, weil nach Voraussetzung durch b-a teilbar ist.


So richtig ?
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RE: Vollständige Induktion (b-a Teiler von b^n-a^n)
Ja, so war das gedacht Freude
 
 
TryingToUnderstand Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion (b-a Teiler von b^n-a^n)
Perfekt, dann vielen Dank an Dich URL Wink
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