Äquivalenzrelationen

09.11.2022, 15:42	TryingToUnderstand	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelationen Meine Frage: Hallöchen mal wieder Heute geht es um Äquivalenzrelationen bzw. bestimmte Gegebenheiten, die man Zeigen soll und ich hätte euch gebeten, mir Feedback für meine Lösungsansätze zu geben bzw. Hilfestellung, wenn etwas falsch ist. Die Aufgabe geht wie folgt: Sei M eine Menge und ~ eine Äquivalenzrelation auf M. Wir schreiben [x] für die Äquivalenzklasse von x in M bezüglich ~, d.h. [x] := {y in M \| x ~ y}. Ferner sei M/~ die Menge der Äquivalenzklassen. Zeigen Sie: (a) Für x, y in M gilt [x] = [y] oder [x] cap [y] = empty. (b) Die Menge M ist die disjunkte Vereinigung der Teilmengen $\begin{eqnarray} [x] \subset M \end{eqnarray}$ für x in M, es gilt also: M = U^(.)_{[x] in M/~} [x]. (c) Ist : M × M -> M eine Verknüpfung, sodass für a, a', b, b' in M mit a ~ a' und b ~ b' auch a b ~ a' * b' gilt, so existiert eine eindeutig bestimmte, wohldefinierte Verknüpfung * : M/~ × M/~ -> M/~ mit [x] * [y] = [x * y] für alle x, y in M. Meine Ideen: Zu meinen Ansätzen: (a): '<=' : Seien x, y in M und [x] = [y] => [x] cap [y] = [x] /= empty ; '=>': Seien x, y in M und [x] cap [y] /= empty, sowie a in [x] cap [y]. => a ~ x und a ~ y. Mit Symmetrie von ~: x ~ a und a ~ y und Transitivitäteigenschaft von Äquivalenzen => x ~ y, also [x] = [y] (b): Es soll gelten: M = U^(.)_{[x] in M/~} [x] => Sei ein y in U^(.)_{[x] in M/~} [x], dann ist y in [x] mit einem x in M, also: y ~ x und y in M. <= Sei ein x in M. Dann ist x auch in [x] und x in U^(.)_{[x] in M/~} [x]. (c) Hier hoffe ich auf eine Hilfestellung, weil mir dazu einfach kein Ansatz einfällt . Ich bedanke mich schonmal herzlich für jegliche Antworten oder Hilfestellungen und entschuldige mich, dass die Formeln etwas komisch dargestellt sind, aber das [latex] funktioniert bei mir gerade nicht, aslo musste ich mir so weiterhelfen .
09.11.2022, 16:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
(a) ist leider falsch. Die Behauptung enthält ODER, nicht GENAU DANN WENN. (b) folgt aus (a) und der Reflexivitaet. (c) Die Wohldefiniertheit kann mit den Eigenschaften der Aequivalenzrelationen bewiesen werden.
09.11.2022, 16:55	TryingToUnderstand	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, danke schonmal an dich für deine Antwort. Da ['latex'] jetzt wieder funktioniert (hab nur meinen PC neu starten müssen ), kann ich es jetzt vielleicht besser darstellen Nur noch kurz zur Klarstellung von meinem ersten Beitrag hier: /= bedeutet $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ cap ist $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ empty bedeutet $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ in ist $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ und U^(.)_{[x] in M/~} [x] ist $\begin{eqnarray} \bigcup^._{[x] \in (M/\sim)} [x] \end{eqnarray}$ Kann ich bei a) nicht aus den von mir gezeigten Relationen, dass wenn $\begin{eqnarray} [x] \cap [y] \neq \emptyset => [x] = [y] \end{eqnarray}$ schließen, dass das ODER gilt ?
09.11.2022, 17:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eine Behauptung und kein Beweis. Und es ist falsch für $\begin{eqnarray} M=\emptyset \end{eqnarray}$ ! x ~ y, also [x] = [y] Warum gilt das ? Wenn du das gezeigt hast, kannst du tatsächlich so schließen, wie du sagst.
09.11.2022, 18:29	TryingToUnderstand	Auf diesen Beitrag antworten »
Also zumindest zu deinem zweiten Kommentar habe ich eine Antwort mit Rechenweg Dass ich $\begin{eqnarray} x \sim y => [x] = [y] \end{eqnarray}$ folgern kann, entnehme ich der definition von [x] bzw. [y]. Ich habe angenommen, wenn $\begin{eqnarray} [x] := {y \in M \| x \sim y} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} [y] := {x \in M \| y \sim x} \end{eqnarray}$ , somit, wenn $\begin{eqnarray} x \sim y \end{eqnarray}$ ist es =[x] und wegen Symmetrie $\begin{eqnarray} y \sim x \end{eqnarray}$ also auch =[y] und somit [x] = [y]. Zum ersten Kommentar: Das habe ich einfach logisch angenommen, wenn [x]=[y] muss in der Schnittmenge etwas sein, also nicht leer (Außer natürlich wenn M leer).
09.11.2022, 19:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
(Außer natürlich wenn M leer) Wenn man etwas beweisen will, dann muss man es ganz machen, ohne Ausnahme. Wenn es eine Ausnahme gibt muss man sie erwähnen, im übrigen ist dieser Beweis ja auch gar nicht verlangt. Den anderen Teil hätte ich auf die klassische Art gemacht, d.h. durch den Nachweis, dass die beiden Klassen als Mengen gleich sind. Beh. $\begin{eqnarray} x\sim y\Rightarrow [x]=[y] \end{eqnarray}$ Bew. $\begin{eqnarray} z\in [x]\Leftrightarrow z\sim x\sim y\Leftrightarrow z\sim y\Leftrightarrow z\in [y] \end{eqnarray}$ qed
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