Gruppe der Dreiecksmatrizen

12.11.2022, 18:42

HiBee123

Gruppe der Dreiecksmatrizen

Hallo liebes Matheboard,

es gilt zu zeigen, dass die nicht-singulären oberen Dreieckmatrizen eine Gruppe mit der Multiplikation bilden.

Meine Idee:
Nicht-singulär heißt die Inverse existieren.

Es gilt das Assoziativgesetz der Matrizenmultiplikation.

Die Einheitsmatrix ist das neutrale Elemen.

Bleibt zu zeigen, dass diese Gruppe wirklich abgeschlossen ist. Für 2x2 und 3x3 Matrizen habe ich das schnell nachgerechnet, Jetzt würde ich gerne eine Induktion über n machen, weiß aber gerade nicht wie ich das am besten angehe.

Liebe Grüße,
eure HiBee

12.11.2022, 18:59

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RE: Gruppe der Dreiecksmatrizen
Da braucht es keine Induktion. Man muss für die invertierbarkeit nur die Diagonalelemente betrachten (warum?)
Deine Rechnungen für n=2 und n=3 könnten dir schon zeigen, was da passiert

12.11.2022, 19:07

HiBee123

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RE: Gruppe der Dreiecksmatrizen
Moment ich will die Invertierbarkeit doch gar nicht zeigen... die ist doch per Aufgabenstellung (Nicht-singulär) schon gegeben, oder?

Ich möchte die Abgeschlossenheit unter Multiplikation zeigen, das habe ich mit 2x2 und 3x3 Matrizen ausgerechnet.... Also dass ich wieder eine obere Dreiecksmatrix bekomme, wenn ich zwei obere Dreiecksmatrizen miteinander multipliziere...

Invertierbarkeit ist ja gleich damit, dass die Determinante ungleich null ist und deshalb reicht es die Diagonalelemente zu betrachten, solange die ungleich null sind ist alles gut...

12.11.2022, 19:22

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RE: Gruppe der Dreiecksmatrizen
Du musst zeigen, dass das Produkt zweier nicht-singulärer oberer Dreieckmatrizen wieder eine nicht-singuläre obere Dreieckmatrix ist. Da sind also zwei Eigenschaften nachzuweisen und ich dachte, du hängst am Nachweis der nicht Singularität.
Die kann man in der Tat am einfachsten mit $\begin{eqnarray*} \det(AB)=\det(A)\det(B) \end{eqnarray*}$ nachweisen.

Die Eigenschaft "A ist obere Dreiecksmatrix" bedeutet für die Matrixelement $\begin{eqnarray*} a_{i,j}=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i>j \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kann man sich das Matrixelement $\begin{eqnarray*} (AB)_{i,j}=\sum_{k=1}^n a_{i,k}b_{k,j} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i>j \end{eqnarray*}$ mal genau anschauen.

12.11.2022, 19:33

HiBee123

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RE: Gruppe der Dreiecksmatrizen
$\begin{eqnarray*} (AB)_{i,j}=\sum_{k=1}^n a_{i,k}b_{k,j} \end{eqnarray*}$ ich teile die Summe auf:
$\begin{eqnarray*} (AB)_{i,j}=\sum_{k=1}^n a_{i,k}b_{k,j}=\sum_{k=1}^ja_{i,k}b_{k,j}+\sum_{k=j+1}^n a_{i,k}b_{k,j} \end{eqnarray*}$ dass das erste Glied null ergibt folge aus i>j und somit a_ij=0 und für das zweite gilt b_kj=0, das j+1>j ist...
so in etwa?

Und danke für den Hinweis, ich muss natürlich auch noch Argumentieren, dass das Produkt wieder singulär ist.

12.11.2022, 19:39

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RE: Gruppe der Dreiecksmatrizen
so war das gedacht Freude

12.11.2022, 20:05

HiBee123

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RE: Gruppe der Dreiecksmatrizen
Alles klar. Vielen Dank. Das gleiche sollte ich jetzt noch für normierte Untere Dreiecksmatrizen zeigen, das hab ich einfach mit dem gleichen Schema durchgezogen. Dann war noch eine Aufgabe zur LR zerlegung. Also sei L eine normierte Untere Dreiecksmatrix und R eine invertierbare obere Dreiecksmatrix dann ist die Zerlegung (wenn es sie gibt) von A=LR eindeutig... hier bin ich mir nicht ganz sicher ob die Argumentation vollständig ist, aber ich hab da jetzt so Argumentiert, sei
A=L1R1=L2R2, dann ist L2^{-1}*L1=R2*R1^{-1} wegen der Abgeschlossenheit, ist das linke eine Untere und das rechte eine obere Dreiecksmatrix. die einzigen Matrizen die beides sind, sind die Diagonalmatrizen. Weiter muss unsere Matrix auch normiert sein- also die Einheitsmatrix. Das heißt L2^{-1} ist invers zu L1 und R1^{-1} invers zu R2. Wegen der Eindeutigkeit der Inversen, sind also L1 und L2 und R1 und R2 gleich.
Stimmt das?

12.11.2022, 20:12

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RE: Gruppe der Dreiecksmatrizen
Was ist denn eine normierte untere Dreiecksmatrix? Alle Diagonalelemente gleich 1? Determinante gleich 1? Wie auch immer, auch diese Eigenschaft hast du hoffentlich für das Produkt nachgewiesen Big Laugh

Wenn normiert hier bedeutet, dass alle Diagonalelemente gleich 1 sind, dann passt deine Argumentation.
Du hast dann übrigens $\begin{eqnarray*} L_2^{-1}L_1=E \end{eqnarray*}$ woraus sofort durch Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} L_2 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} L_1=L_2 \end{eqnarray*}$ .

12.11.2022, 20:15

HiBee123

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RE: Gruppe der Dreiecksmatrizen
Okay Prima, Danke smile

Ja normiert heißt hier alle Diagonalelemente gleich 0.