Reihen (Konvergenz/Divergenz)

13.11.2022, 19:53

maths4u

Reihen (Konvergenz/Divergenz)

Hallo alle!

Es geht hier um Reihen. Ich soll hier die Konvergenz bzw. Divergenz folgender Reihen (siehe Anhang) zeigen und Abschätzungen und Kriterien angeben.

Ich hab` dazu drei Beispiele gelöst. Könnt ihr mal einen Blick werfen und mir eine Rückmeldung geben, ob ich die Konvergenz bzw. Divergenz richtig bestimmt habe? Ich weiß zwar, dass meine Schreibeisen nicht ganz korrekt sind, die werde ich noch verbessern. Also passt das so oder muss ich noch was korrigieren?

14.11.2022, 09:33

maths4u

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Hier die Aufgabe:

14.11.2022, 10:22

HAL 9000

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a) ist falsch, die Reihe divergiert (sieht man leicht mit Quotientenkriterium). Außerdem ist dort problematisch, dass die Summation mit $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ starten soll:

Denn dann steht beim ersten Reihenglied im Nenner $\begin{eqnarray*} 2^0-1 = 0 \end{eqnarray*}$ ... gehen wir daher davon aus, dass die Reihe bei $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ startet.

b) konvergiert, was mit Majorantenkriterium basierend auf $\begin{eqnarray*} 0 < \frac{2^{-k}k}{k^2+k} < 2^{-k} \end{eqnarray*}$ begründet werden kann. (Der Reihenwert hier ist übrigens $\begin{eqnarray*} 2\ln(2)-1 \end{eqnarray*}$ basierend auf $\begin{eqnarray*} -\ln(1-x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .)

c) ist richtig. Hier hat man sogar die Qual der Wahl einer passenden Begründung, z.B. wäre auch Minorantenkriterium basierend auf $\begin{eqnarray*} \frac{2^k+k}{k^2} > \frac{k}{k^2} = \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ möglich gewesen.

P.S.: Übrigens wäre es nicht schlecht, wenn du als nunmehr schon erfahrener Nutzer mit >100 Beiträgen ein wenig den LaTeX-Anteil erhöhen könntest statt immer nur Scans zu präsentieren - zumindest in der Aufgabenstellung (wenn schon nicht überall).

Zum einen der Lesbarkeit wegen (in deinem Scan hatte ich zunächst $\begin{eqnarray*} n!+1 \end{eqnarray*}$ im Zähler des ersten Reihenglieds gelesen), zum anderen erspart es schreibfaulen Helfern wie mir das Abtippen und senkt damit auch die Schwelle zur Hilfsbereitschaft. Augenzwinkern

14.11.2022, 13:47

klauss

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RE: Reihen (Konvergenz/Divergenz)
@maths4u:
ich glaube mich zu erinnern, dass in Deinem ersten Scan, den Du gelöscht hast, eine Aufgabe d) war, wo die Abschätzung im Ergebnis richtig war, aber in der Schreibweise unzulässig, da nicht gültig für k=0. Das sollte nicht unterschlagen werden.

14.11.2022, 14:04

HAL 9000

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Was ich bei b) noch seltsam finde: Wer schreibt denn $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{-k}k}{k^2+k} \end{eqnarray*}$ statt gleich die gekürzte Variante $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{-k}}{k+1} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Ob da nicht doch ein Operand im Zähler "vergessen" wurde, d.h. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{-k}~{\color{red}+}~k}{k^2+k} \end{eqnarray*}$ ? In dem Fall muss man sich das nochmal neu überlegen. Augenzwinkern

14.11.2022, 19:55

maths4u

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Erstmal danke für die Rückmeldungen!

Ich fange mal zuerst mit der Aufgabe a) an, dann poste ich die restlichen.
Ich habe hier versucht mit Quotientenkriterium zu rechnen, aber leider komme ich nicht weiter. Was mache ich hier falsch?

Und ja, ich werde nächstes Mal versuchen mit Latex die Fragen zu erstellen. Nur kenne ich mich damit gar nicht aus, weshalb ich immer gescannte Dateien hochgeladen habe. Aber ich werde demnächst versuchen mit Latex zu arbeiten.

14.11.2022, 21:44

HAL 9000

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Ja, man kann direkt das Quotientenkriterium anwenden, ist aber relativ viel sinnlose Schreiberei. Daher ist die vorherige Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!+1}{2^k-1} \geq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{2^k-1} \geq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{2^k} \end{eqnarray*}$

anratsam, sozusagen Minorantenkriterium: Denn für letztere Reihe ist

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{(k+1)!}{2^{k+1}}\cdot \frac{2^k}{k!} = \frac{k+1}{2} > 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\geq 2 \end{eqnarray*}$ ,

und daher Divergenz.

14.11.2022, 22:32

maths4u

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HAL 9000, das versteh' ich noch nicht ganz. Wir haben ja die Abschätzung gemacht und zwar k!/2^k
und nun müssen wir das Minorantenkriterium für k!+1 /2^k-1 anwenden. Und das ergibt ja wieder k!/2^k, oder nicht? Ich versteh' nicht, wie du das mit dem Minorantenkriterium ausgerechnet hast. Wir haben immer versucht die Reihe kleiner zu machen. Die Reihe wird ja kleienr, indem man +1 im Zähler und -1 im Nenner wegbringt. Dann wird der Term kleiner. Denke ich hier falsch?

14.11.2022, 22:42

HAL 9000

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Es wurde nachgewiesen, dass die KLEINERE Reihe divergiert, damit divergiert laut Minorantenkriteriums auch die größere Reihe. Was willst du denn noch an Erklärung??? unglücklich

EDIT: Alternativerklärung gestrichen.

15.11.2022, 06:13

maths4u

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HAL 9000, ich verstehe nicht von wo der Ausdruck (k+1)!/(2^k+1) * 2^k/k! kommt, also dieser Term 2^k/k! ? Warum darf man hier 2^k/k! dazumultiplizieren? Ich dachte man darf nur etwas addieren oder subtrahieren. Deswegen kann ich die Berechnung noch nicht nachvollziehen

15.11.2022, 08:07

HAL 9000

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Aus $\begin{eqnarray*} a_k = \frac{k!}{2^k} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_k} = \frac{2^k}{k!} \end{eqnarray*}$ , demnach ist $\begin{eqnarray*} \frac{a_{k+1}}{a_k} = a_{k+1}\cdot \frac{1}{a_k} = \frac{(k+1)!}{2^{k+1}} \cdot \frac{2^k}{k!} \end{eqnarray*}$ ,

ist denn diese Kehrwertbildung wirklich so schwer zu kapieren? Poste das nächste mal lieber im Schülerforum, wenn du so gravierende Probleme in grundlegenden algebraischen Umformungen hast, welche in der Mittelstufe gelehrt werden.

15.11.2022, 09:03

maths4u

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Ja, aber wieso rechnen wir das so? Dieser Rechenweg ist mir nicht bekannt, da wir in der VO entweder den Nenner vergrößert oder den Zähler verkleinert haben, also in dem Fall wäre es k!/2^k , wenn wir das Minorantenkriterium anwenden. Und genau so sind wir immer vorgegangen, deswegen kann ich nicht nachvollziehen warum du das anders rechnest. Ich würde gerne deine Vorgehensweise verstehen und auch wissen, warum meine Idee nicht korrekt ist.

15.11.2022, 09:22

HAL 9000

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Ich weiß nicht, was mit dir los ist, d.h., wo der verdammte Knoten in deinem Gehirn ist. unglücklich

Also noch mal extrem langsam:

1) Wir wollen das Konvergenzverhalten der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_k=\frac{k!}{2^k} \end{eqnarray*}$ feststellen. Dazu bemühen wir das Quotientenkriterium, welches u.a. besagt, dass im Fall $\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k}\right| \geq 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\geq k_0 \end{eqnarray*}$ (mit geeignet gewähltem $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ ) die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k \end{eqnarray*}$ divergent ist. Also setzen wir ein $\begin{eqnarray*} a_k=\frac{k!}{2^k} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} a_{k+1}=\frac{(k+1)!}{2^{k+1}} \end{eqnarray*}$ in diesen Quotienten ein und erhalten

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{k+1}}{a_k} = a_{k+1}\cdot \frac{1}{a_k} = \frac{(k+1)!}{2^{k+1}} \cdot \frac{2^k}{k!} = \frac{(k+1)\cdot k!}{2^k\cdot 2} \cdot \frac{2^k}{k!} = \frac{k+1}{2} \end{eqnarray*}$

Dieser Wert ist größer 1 für alle $\begin{eqnarray*} k\geq 2 \end{eqnarray*}$ (d.h. hier wählen wir $\begin{eqnarray*} k_0=2 \end{eqnarray*}$ ), damit ist die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{2^k} \end{eqnarray*}$ divergent.

2) Es gilt $\begin{eqnarray*} \frac{k!+1}{2^k-1} \geq \frac{k!}{2^k-1} \geq \frac{k!}{2^k} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ , damit ist die in 1) nachgewiesenermaßen divergente Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{2^k} \end{eqnarray*}$ eine Minorante der eigentlich zu betrachtenden Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!+1}{2^k-1} \end{eqnarray*}$ , womit letztere nach Minorantenkriterium auch divergent ist.

P.S.: Wenn du das jetzt immer noch nicht kapiert hast, dann lass dich exmatrikulieren. Finger2

Zitat:

Original von maths4u
Ich würde gerne deine Vorgehensweise verstehen und auch wissen, warum meine Idee nicht korrekt ist.

Bei dir oben im Scan steht $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \sqrt[k]{\frac{k!}{2}} \stackrel{?}{=} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Wenn wir mal gnädig das völlig deplatzierte Reihensymbol streichen und annehmen, dass du $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{\frac{k!}{2}} \stackrel{?}{=} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ gemeint hast (d.h. was gemäß Wurzelkriterium zu berechnen wäre), so ist das dennoch falsch: Dieser Grenzwert ist nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

Soviel dazu, warum deine "Idee" nicht korrekt ist. Und außer irgendwelchen kruden verbalen Äußerungen sehe ich sonst keine Rechnungen von dir zu dieser Aufgabe.

15.11.2022, 17:43

mYthos

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich weiß nicht, was mit dir los ist, d.h., wo der verdammte Knoten in deinem Gehirn ist. unglücklich

...
....

Zu diesen und anderen ungeduldigen Bemerkungen: Bitte die Netiquette bewahren! geschockt

Nicht jeder ist ein "Schnellkneisser" (=Schnellversteher), wie man bei uns in Wien sagt Big Laugh

mY+

15.11.2022, 17:52

HAL 9000

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Ok, dann bleibe ich in Zukunft nach dem dritten erfolglosen Erklärversuch einfach weg und mYthos übernimmt statt nur zu moralisieren.

15.11.2022, 18:30

mYthos

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Meine Bitte, die Höflichkeit in einem Forum zu bewahren, ist etwas Legitimes und sicher kein Moralisieren.

Wenn Erklärungsversuche vermeintlich nicht ankommen, liegt das m. E. selten in der Absicht des Hilfesuchenden. Dann macht man das dann eben zum 4. oder 5. Mal und versucht dabei, einen anderen Zugang zu der Problematik zu eröffnen.
Bei wirklichem Interesse macht es sicher dann auch irgenwann *klick*, auch wenn dabei die Geduld auf eine schwere Probe gestellt wird Augenzwinkern

Der Lohn ist, dass sich Lehrer und Schüler gleichermaßen über den Erfolg freuen.

mY+

16.11.2022, 07:24

maths4u

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Vielen Dank für dein Kommentar und für dein Verständnis mYthos. Ich stimme dir da vollkommen zu. Wenn man interessiert ist und dahinter bleibt, dann macht es irgendwann mal klick. Das war schon immer so. Und ich verstehe ehrlich gesagt auch nicht was mit dir los ist HAL 9000. Ich bin hier um was zu lernen und bleibe dahinter und stelle auch fragen, weil ich die Aufgabe wirklich verstehen will und du kommst hier mit "lass dich exmatrikulieren". Du hattest bestimmt auch mal Zeiten, wo du länger gebraucht hast die Themen zu verstehen. Aber gut, mehr will ich mich dazu auch nicht äußern.

Zurück zur Aufgabe: Du meintest ja, dass das Quotientenkriterium relativ viel sinnlose Schreiberei sei und deswegen dachte ich, dass du hier ein anderes Kriterium angewendet hast, weshalb ich sehr verwirrt war. Aber das war mein fehler, hätte besser lesen und hinschauen müssen. Es war ja eigenltich offensichtlich, dass es sich hierbei um das Quotientenkriterium handelt. Das habe ich soweit verstanden. Aber man kann ja die Aufgabe auch mit dem Wurzelkriterium lösen. So würde ich das dann rechnen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{\frac{k!+1}{2^{k}-1} } = \infty \end{eqnarray*}$ --> divergiert

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