Integrale in der Maßtheorie

15.11.2022, 08:44

Samsara

Integrale in der Maßtheorie

Es sei f : $\begin{eqnarray*} (\Omega,F)-->(\mathbb{R},B(\mathbb{R})) \end{eqnarray*}$ messbar mit f|f| d $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} <\infty \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass dann $\begin{eqnarray*} \int f d\mu \end{eqnarray*}$ existiert und dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \big|\int f d\mu\big|<=\int |f| d\mu \end{eqnarray*}$

sowie dasselbe Komplexen. Da angeblich noch keine Lebesgue Integrale durchgenommen wurden. handelt es sich wohl um eine Indikatorfunktion. Mir ist jetzt allerdings nicht klar, wie ich das hier zeigen soll, es sind ja dann einmal der ganze Ausdruck und dann nur das f als Betrag aufgeführt. Ich hoffe mich halbwegs verständlich ausgedrückt zu haben.

15.11.2022, 10:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Samsara
Da angeblich noch keine Lebesgue Integrale durchgenommen wurden. handelt es sich wohl um eine Indikatorfunktion.

Macht nun gar keinen Sinn. Für nichtnegative Funktionen (was Indikatorfunktionen nun mal sind) ist die Satzaussage trivial.

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Man definiert ja den Integralbegriff zunächst für nichtnegative messbare Funktionen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , und dort existiert der Integralwert immer mit Werten in $\begin{eqnarray*} \left[0,\infty\right] \end{eqnarray*}$ , d.h. unter Einbeziehung des möglichen Wertes $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . D.h., es gibt für $\begin{eqnarray*} \int g ~ \dd\mu \end{eqnarray*}$ nur zwei Möglichkeiten:

1) $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist integrierbar, d.h., $\begin{eqnarray*} 0\leq \int g ~ \dd\mu < \infty \end{eqnarray*}$ .

2) Es ist $\begin{eqnarray*} \int g ~ \dd\mu = \infty \end{eqnarray*}$ .

Außerdem ist anzumerken, dass für zwei solche nichtnegativen messbaren Funktionen $\begin{eqnarray*} g_1,g_2 \end{eqnarray*}$ stets

$\begin{eqnarray*} \int \left(g_1+g_2\right) ~ \dd\mu = \int g_1 ~ \dd\mu ~+~ \int g_2 ~ \dd\mu\qquad (*) \end{eqnarray*}$

gilt, selbst dann wenn eines oder beide Integrale rechts $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ sind.

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Nun gilt für die Zerlegung $\begin{eqnarray*} f = f^+ - f^- \end{eqnarray*}$ einer beliebigen messbaren Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in Positivteil $\begin{eqnarray*} f^+:=\max\{f,0\} \end{eqnarray*}$ und Negativteil $\begin{eqnarray*} f^- := \max\{-f,0\} \end{eqnarray*}$ ja $\begin{eqnarray*} |f| = f^+ + f^- \end{eqnarray*}$ , und beide Funktionen $\begin{eqnarray*} f^+,f^- \end{eqnarray*}$ sind laut Definition nichtnegativ und erben ihre Messbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} |f| \end{eqnarray*}$ integrierbar ist, folgt mit (*)

$\begin{eqnarray*} \infty > \int |f| ~ \dd\mu = \int f^+ ~ \dd\mu ~+~ \int f^- ~ \dd\mu \end{eqnarray*}$ ,

und daraus zwangsläufig nun auch $\begin{eqnarray*} \int f^+ ~ \dd\mu < \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int f^- ~ \dd\mu < \infty \end{eqnarray*}$ . Damit existiert $\begin{eqnarray*} \int f^+ ~ \dd\mu - \int f^- ~ \dd\mu = \int \left(f^+ - f^-\right) ~ \dd\mu = \int f ~ \dd\mu \end{eqnarray*}$ .

Die noch nachzuweisende Ungleichung sollte aus dem obigen Rechenweg bei nochmals genauer Durchleuchtung mit abfallen.

16.11.2022, 14:55

Samsara

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Ich habe erst jetzt gesehen, dass ich mich einmal vertippt habe.
Es sei f : $\begin{eqnarray*} (\Omega \end{eqnarray*}$ ,F)-->( $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R},B(\mathbb{R})) \end{eqnarray*}$ messbar mit $\begin{eqnarray*} \int |f|d\mu<\infty \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass dann $\begin{eqnarray*} \int f d\mu \end{eqnarray*}$ existiert und dass gilt:

$\begin{eqnarray*} |\int f d\mu | \end{eqnarray*}$ <= $\begin{eqnarray*} \int |f|d\mu \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt richtig. Was ja klar ist, dass wenn $\begin{eqnarray*} \int f d\mu \end{eqnarray*}$ messbar ist, dann ist auch . $\begin{eqnarray*} \int |f| d\mu \end{eqnarray*}$ . Klar ist, dass ein Integral nur mit positiven Zahlen definiert ist. Wie ich dass , was in der Aufgabe zu zeigen ist, ist mir nicht klar, und speziell dass , wass dann gelten soll.

16.11.2022, 15:01

Samsara

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Ich habe mir die Antwort noch mal angeschaut. Jetzt geht es für mich "nur"noch rauszufinden, wie ich zudem komme was dann gelten soll.

16.11.2022, 22:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Samsara
Jetzt geht es für mich "nur"noch rauszufinden, wie ich zudem komme was dann gelten soll.

Ist für mich zu kryptisch. Wenn du das verständlicher ausdrücken kannst bzw. wenn du noch Fragen zum obigen Beweis hast, dann raus damit.

17.11.2022, 16:04

Samsara

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| $\begin{eqnarray*} \int \end{eqnarray*}$ f d $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ |=| $\begin{eqnarray*} \int \end{eqnarray*}$ f +d $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \int \end{eqnarray*}$ d $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ |

<=| $\begin{eqnarray*} \int \end{eqnarray*}$ f+d $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ |+| $\begin{eqnarray*} \int \end{eqnarray*}$ f-d $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ |
= $\begin{eqnarray*} \int \end{eqnarray*}$ f+d $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \int \end{eqnarray*}$ f-d $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \int \end{eqnarray*}$ (f+f-)d $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \int \end{eqnarray*}$ |f|d $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$

das ist jetzt dazu eingefallen, sicher bin ich mir nicht.

17.11.2022, 16:29

HAL 9000

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Ich verstehe langsam, dass es dir noch um den Beweis der ausstehenden Ungleichung geht, richtig?

Stimmt im großen und ganzen, wenn auch in der ersten Zeile im letzten Integral der dort wohl beabsichtigte Integrand $\begin{eqnarray*} f^- \end{eqnarray*}$ nachzurüsten ist.

17.11.2022, 17:27

Samsara

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Das stimmt, mir ging es noch um den Beweis dieser Ungleichung. Ich merke, dass Masstheorie nicht einfach ist.

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