Erwartungswert und Varianz der Poisson-Verteilung

04.12.2022, 12:56

Malou2016

Erwartungswert und Varianz der Poisson-Verteilung

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} X \sim Poi(\lambda) \end{eqnarray*}$ ist Poissonverteilte Zufallsvariable auf Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A},P) \end{eqnarray*}$ D.h. für $\begin{eqnarray*} \lambda>0 \end{eqnarray*}$ besitzt X die Zähldichte
$\begin{eqnarray*} p(k)=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}, k=0,1,.. \end{eqnarray*}$

Berechne Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X \end{eqnarray*}$ und Varianz $\begin{eqnarray*} Var(X) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich habe einen Satz im Skript gefunden laut dem gilt
$\begin{eqnarray*} X \sim Poi(\lambda) \Rightarrow EX=\lambda, Var(X)=\lambda \end{eqnarray*}$ .
Also muss ich ja $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bestimmen. Aber dazu fehlt mir leider der Ansatz.

Latex-Code für Tilde ergänzt.
klauss

04.12.2022, 13:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malou2016
Also muss ich ja $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Inwiefern das? Ich lese das oben so, dass du Erwartungswert und Varianz dieser Zufallsgröße in Abhängigkeit (!) vom Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bestimmen sollst - und das hast du getan. Zwar "nur" im Skript nachgeschaut statt mit der gegebenen Zähldichte $\begin{eqnarray*} p(k) \end{eqnarray*}$ wirklich nachgerechnet, aber vielleicht kannst du letzteres ja nachliefern: Also per

$\begin{eqnarray*} E\left(X\right) = \sum_{k=0}^{\infty} k\cdot p(k) \end{eqnarray*}$

und anschließend Varianz $\begin{eqnarray*} V\left(X\right) = E\left(X^2\right) - \left(E\left(X\right)\right)^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} E\left(X^2\right) = \sum_{k=0}^{\infty} k^2\cdot p(k) \end{eqnarray*}$ .

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