Isomorphismen und Vektorräume |
| 07.12.2022, 17:27 | TryingToUnderstand | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Isomorphismen und Vektorräume Hallöchen mal wieder, Hier habe ich eine Aufgabe, bei der ich bei den Ansätzen zumindest eine kleine Hilfestellung brauche, weil mir die Aufgabe zumindest logisch erscheint. Sie geht wie folgt: Es seien K-Vektorräume V , W und U gegeben. Zeigen Sie: (a) Sind f : V -> W und g : U -> V Isomorphismen, so ist f o g : U -> W ebenfalls ein Isomorphismus. (b) Ist f : V -> W ein Isomorphismus, so ist die Umkehrabbildung f^?1: W -> V (wie sie bei Mengenabbildungen definiert wurde) K-linear und ein Isomorphismus. (c) Eine K-lineare Abbildung f : V -> W ist genau dann ein Isomorphismus, wenn es ein K-lineares g : W -> V gibt mit f o g = id_W und g o f = id_V . (d) Ist M eine Menge von Vektorräumen über dem Körper K, so ist die Relation "=~" (Isomorphie von K-Vektorräumen) eine Äquivalenzrelation auf M Meine Ideen: Wie gesagt glaube ich, dass ich rein logisch schon auf die Lösung komme, sie aber mathematisch korrekt aufzuschreiben, ist bei mir noch etwas schwierig: Zu a): Wenn f und g Isomorphismen sind, gilt, dass diese Homomorphismen sind und bijektiv. Habe ich also ein Element u in U und v in V, sollte ein u existieren, sodass g(u) = v, oder nicht ? Wie komme ich dann auf den Beweis, dass die Verknüpfung von f und g ein Isomorphismus ist ? Zu b): Auch hier rein logisch klar. Nur weil ich die Umkehrabbildung mache, negiere ich nicht die Isomorphe Eigenschaft, weil es immernoch eine bijektive Abbildung ist und ein Homomorphismus. Nur das mathematische Aufschreiben hängt noch. Zu c): Hier muss ich tatsächlch sagen, dass ich den Beweis nichtmal rein logisch finden kann Zu d): Auch hier scheint es nur logisch, dass wenn die Vektorräume bijektiv abgebildet werden, dass sie sich nicht verändern, also Äquivalent sind. Und wieder fehlt mir der Ansatz zum richtigen Beweis Ich würde mich freuen, wenn sich ein oder zwei User finden, die sich die Zeit für mich nehmen und bedanke mich schonmal für jede Hilfe 
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| 07.12.2022, 21:10 | TryingToUnderstand | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Isomorphismen und Vektorräume Weil man seinen Beitrag hier leider nur in den ersten 15 min. ändern kann, muss ich meine bisherigen Fortschritte in den Aufgaben als Antwort aufschreiben :/: Also zur a): Hier habe ich angenommen: Wenn f und g Isomorphismen, sind sie bijektiv und somit ist auch f o g bijektiv. Zu zeigen ist also noch, dass f o g linear ist, damit f o g ein Isomorphismus, also dass: f o g (a*v) = a * f o g und f o g(x+y) = f o g(x) + f o g(y). Zusammengenommen reicht es auch zu zeigen, dass Soweit meine Annahme, also mit f und g linear: Und somit f o g ein Isomorphismus. Zur b): Gleiche Begründung wie in a): nur noch z.z, das f^-1 linear: 1. Seien x,y in W und a in K: . (Schritt 2 sollte gehen, weil sich f und f^-1 negieren) 2. Zur c) und d) hab ich noch nichts. Wenn also jemand mal über meine a) und b) drüberschauen könnte, ob es schlüssig ist, wäre das sehr nett
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| 07.12.2022, 22:06 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
a) ist richtig. b) nicht. b) sei dann ist g(x+y)=g(f(u)+f(v))=g(f(u+v))=u+v=g(x)+g(v) Die Homogenität analog c) nimm f hoch -1 für g d) ist nicht schwierig, das schaffst du auch noch Tipp. Reflexiv ist klar wegen id:V-->V, transitiv folgt aus a), symmetrisch folgt aus b) Frage: Ist die Gesamtheit aller K-Vektorräume eine Menge? (Kann Pippen etwas dazu sagen?) |
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Unwissenschaftlich!