Mittels Bernoullischer Ungleichung eine Abschätzung beweisen

11.12.2022, 21:15

Jmd der Hilfe sucht

Mittels Bernoullischer Ungleichung eine Abschätzung beweisen

Meine Frage:
Benutzen Sie die bernoullische Ungleichung
$\begin{eqnarray*} (1+119909)119896?1+119896119909, 119909??1,119896?\N \end{eqnarray*}$
um die Abschätzung
$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}\geq 1,\ \ \ \ n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$
zu beweisen.
Ich brauche paar tipps wie ich weiter kommen soll.

Meine Ideen:
Ich habe soeben $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ bewiesen. Das Ergebnis davon ist, $\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{(n+1)^2})^{n+1}*\frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$
Braucht man überhaupt die bernoullische Ungleichung? Wenn, ja dann kann man ganz einfach abschätzen. Wenn nein, dann weiß ich nicht wie ich diese Aufgabe lösen kann

11.12.2022, 21:21

HAL 9000

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Ein Desaster von Beitrag

Zitat:

Original von Jmd der Hilfe sucht
$\begin{eqnarray*} (1+119909)119896?1+119896119909, 119909??1,119896?\N \end{eqnarray*}$

Dass das nicht lesbar ist, ist die eine Sache - aber auch egal, die Bernoullische Ungleichung ist ja bekannt.

Was du aber wenigstens mitteilen solltest ist, was du mit $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ meinst. smile

11.12.2022, 21:21

Hab was vergessen

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RE: Durch eine bernoullische Ungleichung eine Abschätzung beweisen
Bernoullische Ungleichung ist $\begin{eqnarray*} (1+x)^k\geq 1 + kx,\ \ \ \ \ x\geq -1,\ k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

11.12.2022, 21:26

Hab was vergessen

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RE: Ein Desaster von Beitrag
$\begin{eqnarray*} a_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n} \end{eqnarray*}$

11.12.2022, 21:28

Leopold

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RE: Durch eine bernoullische Ungleichung eine Abschätzung beweisen
Ich vermute, daß es um die im Zusammenhang mit der Eulerschen Zahl wesentliche Folge $\begin{align*} \left( a_n \right)_{n \geq 1} \end{align*}$ mit $\begin{align*} a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \end{align*}$ geht. Es soll wohl gezeigt werden, daß die Folge monoton wächst, was zu $\begin{align*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1 \end{align*}$ äquivalent ist.

Zitat:

Original von Jmd der Hilfe sucht
Ich habe soeben $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ bewiesen. Das Ergebnis davon ist, $\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{(n+1)^2})^{n+1}*\frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$

Das soll wohl bedeuten, daß du $\begin{align*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{align*}$ bereits umgeformt hast. Deine Umformung ist richtig. Ziel ist aber doch, daß der Bruch $\begin{align*} \geq 1 \end{align*}$ ist. Und das hast du noch nicht. Schätze daher deinen Ausdruck mit der Bernoullischen Ungleichung ab. Dann steht es schon da.

11.12.2022, 21:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Jmd der Hilfe sucht
Braucht man überhaupt die bernoullische Ungleichung? Wenn, ja dann kann man ganz einfach abschätzen.

D.h., du weißt wie man mit der Bernoullischen Ungleichung den Beweis bewerkstelligen kann - bist aber unzufrieden, weil du es gern auf andere Art und Weise schaffen willst? Erstaunt1

11.12.2022, 22:01

Hab was vergessen

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RE: Durch eine bernoullische Ungleichung eine Abschätzung beweisen
Wie zeige ich mithilfe der bernoullischen Ungleichung dass der Bruch größer gleich 1 ist. Setze ich den Term anstelle von x ein oder wie?

11.12.2022, 22:09

HAL 9000

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Ok, dann hast du dich in dem von mir wiederholten Zitat ziemlich missverständlich ausgedrückt. Leopolds Tipp nochmal ganz konkret unterfüttert:

Nutze die Bernoulli-Ungleichung $\begin{eqnarray*} (1+x)^k\geq 1+kx \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=-\frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} k=n+1 \end{eqnarray*}$ .

11.12.2022, 22:12

Hab was vergessen

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Muss ich nicht vorher erklären wo der Term von x und von k herkommt bzw. Beweisen?

11.12.2022, 22:19

HAL 9000

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Du hast doch den Ausdruck für den Quotienten bewiesen, und nun nutzt du die Bernoullische Ungleichung, um diesen Ausdruck anschließend nach unten abzuschätzen. Was bitte willst du jetzt noch zusätzlich "erklären" ? verwirrt

Nicht ewig rumdiskutieren, sondern einfach mal handeln. unglücklich

11.12.2022, 22:47

Hab was vergessen

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Vielen Dank hat funktioniert

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