Vollständige Induktion - Teilbarkeit, wie weiter?

22.12.2022, 20:45

Alice in Borderland

Vollständige Induktion - Teilbarkeit, wie weiter?

Meine Frage:
Die Aufgabenstellung ist, dass für alle n gilt, dass der Term $\begin{eqnarray*} 7^{2x}+3^{2x}+21^{x}*30 \end{eqnarray*}$ durch 16 teilbar ist.

Meine Ideen:
Ich wäre da jetzt mit einer vollständigen Induktion rangegangen.
Für n = 1 folgt also:
$\begin{eqnarray*} 7^{2} + 3^{2} + 21^{30} = 688 = 43*16 \end{eqnarray*}$

Stimmt soweit. Für n+1 folgt dann:
$\begin{eqnarray*} 7^{2(x+1)}+ 3^{2(x+1)}+ 21^{x+1} * 30 = 7^{2x+2}+ 3^{2x+2}+ 21^{x+1} * 30. \end{eqnarray*}$

Mein erster Schritt wäre hier gewesen, das Ganze so umzuformen:

$\begin{eqnarray*} 49*7^{2x}+ 9*3^{2x}+ 21*21^{x} * 30 \end{eqnarray*}$ . Würde ich das Ganze so ausklammern, dann käme ich auf

$\begin{eqnarray*} 49(7^{2x}+ 3^{2x}+ 21^{x} * 30). \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist allerdings, dass ich nicht weiß, wie es weitergeht. Mein nächster Schritt sähe so aus
$\begin{eqnarray*} 49(7^{2x}+ 3^{2x}+ 21^{x} * 30) -40 * 3^{2x} - 28* 21^{x} * 30 \end{eqnarray*}$

aber ab hier kann ich nicht darauf schließen, wie dieser Restterm durch 16 teilbar sein soll. Habe ich überhaupt richtig gerechnet und wie geht es jetzt weiter?

Danke

22.12.2022, 21:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von Alice in Borderland
Meine Frage:
Die Aufgabenstellung ist, dass für alle n gilt, dass der Term $\begin{eqnarray*} 7^{2x}+3^{2x}+21^{x}*30 \end{eqnarray*}$ durch 16 teilbar ist.

[...]

Für n = 1 folgt also:
$\begin{eqnarray*} 7^{2} + 3^{2} + 21^{30} = 688 = 43*16 \end{eqnarray*}$

Irgend etwas stimmt an der Behauptung nicht: Tatsächlich bekommt man für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 7^{2}+3^{2}+21^{1}*30 = 706 \end{eqnarray*}$ ,

und das ist NICHT durch 16 teilbar. Erstaunt1

Willst du also deine Behauptung korrigieren? Und schreib bitte einheitlich $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

22.12.2022, 22:07

indu

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Zitat:

7^{2}+3^{2}+21^{1}*30 = 706

Nicht wirklich, oder bin ich blind ? verwirrt

22.12.2022, 22:11

HAL 9000

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Upps, im CAS vertippt ( $\begin{eqnarray*} 3^{3n} \end{eqnarray*}$ Finger1

) - sorry. Augenzwinkern

22.12.2022, 22:11

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} 7^{2}+3^{2}+21^{1}*30 = 706 \end{eqnarray*}$

Ich komme auf 688, nicht 706.

@ Alice in Borderland

Am Anfang hast du versehentlich "hoch 30" geschrieben, wo es "mal 30" heißen müßte. Ansonsten sehe ich nicht, daß du dich verrechnet hast. Na ja, x oder n, da solltest du dich schon festlegen. Ich wäre für n.

In 40 steckt der Faktor 8, in $\begin{align*} 28 \cdot 30 \end{align*}$ ebenso. Den gemeinsamen Faktor 8 kann man ausklammern. Die Summe zweier ungerader Zahlen ist aber gerade. So bekommt man einen weiteren Faktor 2. Und $\begin{align*} 8 \cdot 2 = 16 \end{align*}$ .

22.12.2022, 22:18

URL

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Alternativ ohne Induktion, wenn man das Binom erkennt $\begin{eqnarray*} 7^{2n}+3^{2n}+21^{n}30=(7^{n}-3^{n})^2+32\ 3^{n}7^{n} \end{eqnarray*}$

22.12.2022, 22:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von URL
Alternativ ohne Induktion, wenn man das Binom erkennt $\begin{eqnarray*} 7^{2n}+3^{2n}+21^{n}30=(7^{n}-3^{n})^2+32\ 3^{n}7^{n} \end{eqnarray*}$

Clever.

Alternativ klappt Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n\to n+2 \end{eqnarray*}$ mit dann notwendig umfangreicheren Induktionsanfang.

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