Reihe Konvergenz

13.01.2023, 04:47	Sensei_Beast	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihe Konvergenz Meine Frage: Hallo, ich bräuchte Hilfe oder einen Anschub mit dieser Aufgabe. Weiß nicht wie ich vorangehen soll. Wir sollen zeigen, dass die Reihe konvergiert. Meine Ideen: Quotientenkriterium?
13.01.2023, 08:26	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte man so machen, ja. Allerdings hat man jetzt noch Aufwand, für all die (Unter-)brüche im letzten Term nachzuweisen, dass sie gegen Null konvergieren, was insbesondere bei $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{v}}{2^v} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{v+1}}{2^v} \end{eqnarray}$ nicht völlig trivial ist. Wesentlich nervenschonender und viel weniger schreibaufwändig ist folgender Alternativweg: Wegen $\begin{eqnarray} 2^v+2+\sqrt{v} > 2^v \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{2^v+2+\sqrt{v}} < \frac{1}{2^v} \end{eqnarray}$ , und damit $\begin{eqnarray} \sum_{v=0}^{\infty} \frac{1}{2^v} \end{eqnarray}$ eine Majorante deiner Reihe. Und von dieser geometrischen Reihe sollte bekannt sein, dass sie konvergent ist.

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