Basis Vektorraum

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Weduschij Auf diesen Beitrag antworten »
Basis Vektorraum
Meine Frage:
Wir betrachten den R-Vektorraum
P_3 := {f aus R[X] | deg(f) <= 3}
= {f(X) = a + bX + cX^2 + dX^3
| a, b, c, d ? R}

der reellen Polynome von Grad kleiner gleich 3 mit der üblichen Addition und Multiplikation.

U := {f aus P3 | f(0) = 0 und f(1) = 0}




Bestimme eine Basis B von U und
zeige, dass B U {X, X ? 1} eine Basis von P_3 ist.

Meine Ideen:
Die Definition einer Basis: Für alle u aus U { f(0)=0 , f(1)=0 } gibt es genau ein für die gilt:


Verstehe ich was falsch oder folgt daraus dann, das a = 0 und b+c+d =0. Also kann B {b} sein, denn wenn Lambda=0 ist, dann ist b*0=0=a=b*c+d, womit ich jedes Element aus U erzeugen könnte. Zum zweiten Teil der Aufgabe muss ich glaube ich erstmal das verstehen. Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Bedingungen a=b+c+d=0 stimmen. Was du danach machst, ist nicht so gut. Für beliebige c,d folgt aus der zweiten Gleichung b=-(c+d). Und damit baust du für beliebige c und d eine Basis von U. Setze z.B. c=1,d=0 und c=0,d=1.
Weduschij Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte noch eine Verständnisfrage. Also wenn ich jetzt die Basis {c,d} habe, dann muss doch Folgendes gelten.

Es gibt genau ein

Aber dann gibt es ja nicht genau ein , sondern unendlich viele oder? Damit wäre es ja auch meines Wissens keine Base mehr.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

a, b, c, d sind Koeffizienten. Wenn du gemacht hättest, was ich vorschlug, dann hättest du die Basis gefunden. Das sind zwei reell linear unabhängige Polynome höchstens 3. Grades, die bei 0 und 1 Nullstellen haben. Was willst du mehr?
Weduschij Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke
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