Vollständige Induktion

19.01.2023, 23:55	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Sei f : $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit f(x) = $\begin{eqnarray} x^{2}e^{-x} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass $\begin{eqnarray} f^{n}(x) = (-1)^{n} \big(n(n-1) - 2nx + x^{2} \big)e^{-x} \end{eqnarray}$ Induktionsannahme $\begin{eqnarray} f^{n}(x) = (-1)^{n} \big(n(n-1) - 2nx + x^{2} \big)e^{-x} \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ Induktionsschritt: zu zeigen $\begin{eqnarray} f^{n+1}(x) = (-1)^{n+1} \big((n+1(n+1-1) - 2(n+1)x + x^{2} \big)e^{-x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^{n+1}(x) = (-1)^{n+1} \big((n+1(n-2(n+1)x+x^{2} \big)e^{-x} \end{eqnarray}$ In einer mir vorliegenden Lösung steht $\begin{eqnarray} f^{n+1}(x) = (-1)^{n+1} \big((n+1)n - 2(n+1)x+x^{2} \big)e^{-x} \end{eqnarray}$ mir ist jetzt nicht klar, wie man bei $\begin{eqnarray} \big((n+1(n-2(n+1)x + x^{2} \big) e^{-x} \end{eqnarray}$ die 3 Klammer von links $\begin{eqnarray} \big((n+1(n-2(n+1) \end{eqnarray}$ umdrehen kann, damit die Abfolge so ist $\begin{eqnarray} \big((n+1)n-2(n+1) \end{eqnarray}$
20.01.2023, 00:28	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion Ich vermute mal, dass da nichts umgedreht wurde, zumal Deine Schreibweise unschlüssig ist, da die Anzahl der geöffneten und geschlossenen Klammern mehrfach nicht übereinstimmt. Stattdessen hat man wohl eher auf Grundlage der Induktionsannahme einfach die Ableitung von $\begin{eqnarray} f^{n}(x) \end{eqnarray}$ berechnet und bis zur Darstellung gemäß Induktionsschritt umgeformt.
20.01.2023, 00:32	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Klammer-Orgie ist undurchsichtig und auch gar nicht notwendig. Warum bildest du nicht einfach die nochmalige Ableitung von fn nach der Produktregel? Dann noch ein wenig umformen ... mY+
20.01.2023, 09:32	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion Erstmal Danke für die Antwort. Ich habe mit Sicherheit meine Probleme mit der vollständigen Induktion. Es ist richtig, dass man hier zeigen soll, dass die Ableitung für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ gilt. Dabei ist mit $\begin{eqnarray} f^{n} \end{eqnarray}$ die n te Ableitung gemeint. Das, was mir bis jetzt klar ist, ist folgendes: ich zeige, dass die Annahme für n=1 richtig ist, dass ist erstmal einfach. Dann kommt der nächste Schritt, dass ich überall, wo n auftaucht, n+1 addiere. Danach rechne ich das aus, bzw. forme entsprechend um. Hier muss ich jetzt wohl im zweiten Schritt direkt den dritten Schritt anwenden. Mir ist allerdings nicht klar, wie ich hier die Produktregel für die Ableitung anwenden muss.
20.01.2023, 11:32	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die n-te Ableitung ist ein Produkt eines Polynoms mit $\begin{eqnarray} e^{-x} \end{eqnarray}$ . Nun bildest du die nochmalige Ableitung, eben $\begin{eqnarray} f^{n+1} \end{eqnarray}$ , was benötigt man dazu? mY+

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