Vektorraum, Untervektorraum und Abbildungen |
| 01.02.2023, 11:38 | TryingToUnderstand | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Vektorraum, Untervektorraum und Abbildungen Hallo an alle, Ich würde euch gerne um Hilfe bitten bei einer Aufgabe, bei der ich nicht wirklich weiterkomme. (Für genaue Aufgabenstellung siehe Anhang) Meine Ideen: Ich muss zugeben, dass ich bisher keine richtigen Ansätze dazu habe. Für a) => b) hätte ich eigentlich mit den linearen Unabhängigkeit von u_{1},...,u_{k} argumentieren wollen, dass diese dann eindeutig sind, bin aber nicht weiter gekommen. Für b) => c) oder c) => d) habe ich noch nichts Und für d) => a) hätte ich argumentiert, dass wenn der Schnitt 0 ist, dass dann lineare Unabhängigkeit herrschen muss weil es sonst mind. ein Element geben müsste, dass im Schnitt enthalten ist und nicht 0 ist. Ich bedanke mich jetzt schonmal für alle Antworten bzw. Hilfestellungen und hoffe, dass wir die Aufgabe, vor Allem mathematisch korrekt, aufschreiben und lösen können 
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| 01.02.2023, 12:59 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mach erst mal den Beweis für 2 Untervektorräume, dann kannst du ihn ganz einfach auf k Untervektorräume verallgemeinern. Wenn du das nicht kannst, schlage den Satz und seinen Beweis in einem Lehrbuch nach. Du wolltest aktiv werden, weil Mathematik nur so möglich wird, also mach mal. |
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| 01.02.2023, 16:33 | TryingToUnderstand | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also wie immer, vielen Dank für deine Antwort. Ich hab mich mal dran versucht: a) -> b): Seien U1,U2 linear unabhängige UVR von V. Das bedeutet, dass kein Vektor von U1 oder U2 0 sein kann, wenn die Koeffizienten 0 sind. Da sie in diesem Beispiel auch den ganzen U1+U2-Raum aufspannen, macht sie die lineare Unabhängigkeit zur Basis von U1+U2. Sei jetzt v in U1+U2. Dann kann v durch eine Basis von U1+U2 dargestellt werden also v=a1u1+a2u2. Weil U1 und U2 immer noch linear Unabhängig sind, sind sie durch die Koeffizienten eindeutig definiert. b) -> c): Für einen Vektorraummonomorphismus muss gelten, dass f injektiv und linear ist. Injektivität: => Seien u1,u2 und v1,v2 in U1,U2, dann gilt f(u1,u2) = f(v1,v2) => u1+u2 = v1+v2. Linearität: folgt aus Aufgabenstellung c) -> d): Hier habe ich noch etwas Schwierigkeiten. Kann ich das mit der Injektivität zeigen ? d) -> a): Weil hier Voraussetzung ist, dass der Schnitt von Ungleichen Vektoren 0 ist, kann nur die lineare Unabhängigkeit folgen, weil es sonst mind. ein Vektor von einem anderen dargestellt werden kann. |
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| 01.02.2023, 18:07 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du machst leider gar keine erkennbaren Fortschritte. a) -> b) Du hast noch nicht verstanden, was linear unabhängig hier bedeutet. Folglich kannst du auch nicht auf die Eindeutigkeit der Darstellung von v schließen. Du verwirrst nur einige Begriffe. b) -> c) Du zeigst nicht die Injektivität von f, sondern du stellst nur inhaltsleere Formeln auf. So geht das nicht, und so geht das nicht weiter, und so geht das nicht voran. Wenn du dir etwas Gutes tun willst, dann fange bitte an zu denken und zu arbeiten. |
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