Potenzreihe Taylorreihe

10.02.2023, 19:18	Potenzius	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihe Taylorreihe Meine Frage: Man betrachte eine Funktion, die wie z.B. die Exponentialfunktion eine Potenzreihendarstellung besitzt. D.h. der Konvergenzradius dieser Potenzreihe ist unendlich. Dann stimmt die Taylorreihe dieser Funktion mit der Potenzreihe überein und hat ebenfalls Konvergenzradius unendlich oder? Meine Ideen: Falls ja woran liegt das?
10.02.2023, 20:31	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Besteht denn bereits Verständnis, warum eine Polynomfunktion zu jedem Entwicklungspunkt mit ihrer Taylorreihe übereinstimmt?
10.02.2023, 20:35	Potenzius	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja
10.02.2023, 22:47	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
In "Analysis 1" von Heuser wird es bspw. genau ausgeführt. In Kurzfassung kommt man wie folgt zum Ziel. 1. Der Entwicklungspunkt einer Potenzreihe mit Konvergenzradius $\begin{eqnarray} r>0 \end{eqnarray}$ darf verschoben werden, wobei $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n = \sum_{k=0}^\infty b_k(x-x_1)^k,\qquad b_k :=\sum_{n=k}^\infty\binom{n}{k}a_n(x_1-x_0)^{n-k}, \end{eqnarray}$ sofern $\begin{eqnarray} \|x-x_1\| < r - \|x_1-x_0\|. \end{eqnarray}$ 2. Die Summe einer Potenzreihe ist auf ihrem Konvergenzintervall stetig. Der Beweis macht unter anderem Gebrauch von 1. 3. Aus 1. und 2. folgt mit dem Ansatz $\begin{eqnarray} \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}=\sum_{k=0}^\infty b_k(x-x_1)^k \end{eqnarray}$ für die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ in der Nähe von $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ umgehend, dass die Summe $\begin{eqnarray} f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n \end{eqnarray}$ differenzierbar ist und gliedweise abgeleitet werden darf. 4. Die höheren Ableitungen erhält man, wenn man 3. auf die zuletzt erhaltene Ableitung abermals anwendet. 5. Der Sachverhalt folgt schließlich kurzum aus 4.
11.02.2023, 10:41	Potenzius	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also war die ursprüngliche Aussage "Eine glatte Funktion, die eine Potenzreihendarstellung hat, besitzt eine Taylorreihe, die genau ebendiese Potenzreihe ist." korrekt.
11.02.2023, 19:49	Potenzius	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur nochmal zur Überprüfung meines Verständnisses. Ich weiß, dass gilt $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-x} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n , x\in (-1,1) \end{eqnarray}$ . Durch Integrieren erhält man dann $\begin{eqnarray} \ln(1+x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{n+1}}{n+1} \end{eqnarray}$ . Dies ist nun aber gerade die Taylorreihe von ln(1+x), da die Ausgangsfunktion eine Potenzreihendarstellung besaß. Ist das so korrekt angewandt?
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11.02.2023, 22:34	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sei $\begin{eqnarray} f(x):=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \end{eqnarray}$ mit positivem Konvergenzradius. Angenommen, die Integralfunktion $\begin{eqnarray} F(x):=\int_0^x f(t)\,\mathrm dt \end{eqnarray}$ ist ebenfalls als Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius darstellbar. Wegen $\begin{eqnarray} F(0)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F'=f \end{eqnarray}$ erhält man dann die Taylorreihe $\begin{eqnarray} F(x) = \sum_{n=1}^\infty\frac{f^{(n-1)}(0)}{n!}x^n = \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{(n+1)!}x^{n+1} = \sum_{n=0}^\infty\int_0^x \frac{f^{(n)}(0)}{n!}t^n\,\mathrm dt. \end{eqnarray}$ Das heißt, $\begin{eqnarray} \int_0^x\sum_{n=0}^\infty a_nt^n\,\mathrm dt = \sum_{n=0}^\infty\int_0^x a_n t^n\,\mathrm dt. \end{eqnarray}$ Verbleibt zu untersuchen, wie es sich mit dem Konvergenzradius der Integralfunktion verhält.

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