Differenzierbarkeit und Integral

15.02.2023, 12:03	Atelier16	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit und Integral Meine Frage: Ich bereite mich gerade auf die Klausur vor und da ist der folgende Aufgabentyp öfters vorgekommen. Ich weiß aber nicht wirklich wie man bei solchen Aufgabe vorgehen kann und wollte mal fragen ob mir jemand das Vorgehen anhand des folgenden Beispiels erklären kann. Meine Ideen: Ich weiß, dass man Lebesgue-Integrale in Riemann-Integrale umschreiben kann. Wirklich weiter komme ich aber nicht und wäre über Hilfe dankbar.
15.02.2023, 16:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte mit quadratischer Ergänzung und dann Substitution $\begin{eqnarray} t=x-\frac{y}{2} \end{eqnarray}$ (einfache Verschiebung) operieren: $\begin{eqnarray} f(y) = \int \exp\left( \frac{y^2}{4} - \left(x-\frac{y}{2}\right)^2 \right) ~ \lambda(\dd x) = \exp\left( \frac{y^2}{4} \right)\cdot \int \exp\left( -t^2 \right) ~ \lambda(\dd t) = \exp\left( \frac{y^2}{4} \right)\cdot f(0) \end{eqnarray}$ Damit ist $\begin{eqnarray} f'(y) = \frac{y}{2} \exp\left( \frac{y^2}{4} \right)\cdot f(0) \end{eqnarray}$ . Bleibt nur noch die Berechnung von $\begin{eqnarray} f(0) \end{eqnarray}$ , aber den Wert kennst du ja womöglich anderweitig (Normalverteilung oder Gaußsche Fehlerfunktion)?

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