Taylorreihe

21.02.2023, 21:12	taylorer	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihe Meine Frage: Halli Hallo ich habe eine Frage weil es mir meine Berechnung erleichtern kann ob man das hier Taylorn kann? Meine Ideen: Also fällt da irgendwem eine Taylorformel ein
22.02.2023, 09:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, es handelt sich hier um ein unvollständiges elliptisches Integral. Wenn du ein CAS zur Verfügung hast, würde ich das zur Berechnung verwenden, die sollten das i.d.R. zur Verfügung stellen. Wenn das keine Option ist, und du das wirklich als Taylorreihe darstellen willst, musst du dich zumindest nicht mit den Ableitungen rumplagen, sondern kannst auch so vorgehen: Betrachte im Integranden die Potenzreihen $\begin{eqnarray} (1-t^2)^{-\frac{1}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\binom{-\frac{1}{2}}{n} t^{2n} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} (1-mt^2)^{-\frac{1}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\binom{-\frac{1}{2}}{n} m^n t^{2n} \end{eqnarray}$ der beiden Faktoren dort, bilde anschließend deren Cauchy-Produkt, und die entstehende $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ -Potenzreihe kannst du dann ja leicht integrieren. Den hier auftretenden Binomialkoeffizienten kann man auch umschreiben in $\begin{eqnarray} (-1)^n \binom{-\frac{1}{2}}{n} = \frac{1}{4^n} \binom{2n}{n} \end{eqnarray}$ , wenn einem das angenehmer ist.

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