Integralfunktion

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26.02.2023, 20:31	bubu000	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralfunktion Hallöchen zusammen, im Bild seht ihr die Aufgabe um die es geht. Aufgabe a und b waren kein Problem. Allerdings bin ich etwas verwirrt bei der Aufgabe c. Man soll die obere Grenze b bestimmen, damit das Integral negativ ist. Ich war der Meinung, dass b eine Zahl im Intervall ]-1;1[ sein sollte, da in dem Bereich die y-Werte der Integralfunktion negativ sind. Die Lösung soll aber anscheinend sein, dass b im Intervall ]-1;3] sein muss. Kann mir jemand helfen bei meinem Hänger. Vielen lieben Dank schon mal. Grüßle Josi
26.02.2023, 21:43	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} a=-1; \ J_{-1}(x) = \frac{5}{2} - \frac{5}{1+x^2} \end{align}$ Vermutlich ein Fehler in der Aufgabenstellung. So, wie c) gestellt ist, ist jeder Wert $\begin{align} b \in \left( -1,1 \right) \end{align}$ eine richtige Antwort.
26.02.2023, 22:42	bubu000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen lieben Dank Leopold. Knoten im Kopf hat sich gelöst
26.02.2023, 22:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Welcher Knoten? Hast du die richtige Aufgabenstellung herausgefunden?
03.03.2023, 02:50	bubu000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, ich habe mich versteift darauf, dass die Antwort im Lösungsbuch richtig ist und du hast mir die Bestätigung gegeben, dass die Antwort nicht richtig sein kann bei der Fragestellung. Also entweder ist die Fragestellung oder die Lösung falsch. Kommt ja öfter vor in Lösungsbüchern von Schulbüchern.
03.03.2023, 02:55	bubu000	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber eine Frage hätte ich noch, wie hast du denn den Funktionsterm aufgestellt?
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03.03.2023, 06:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dachte beim Bild sofort an den Graphen der Funktion $\begin{align} x \mapsto \frac{1}{1+x^2} \end{align}$ . Der Abstand des Extrempunkts $\begin{align} (0,1) \end{align}$ von der Asymptote $\begin{align} y=0 \end{align}$ ist hier 1. Im Bild ist dieser Abstand 5. Zudem ist der Graph an der Horizontalen gespiegelt. Daher habe ich meinen Ansatz mit - 5 multipliziert: $\begin{align} x \mapsto \frac{-5}{1+x^2} \end{align}$ . Nun ist $\begin{align} (0,-5) \end{align}$ der Extrempunkt des Graphen, die Asymptote ist immer noch $\begin{align} y=0 \end{align}$ . Jetzt das Ganze noch um 2,5 anheben, damit der Tiefpunkt und die Asymptote an der richtigen Stelle liegen: $\begin{align} J_{-1}(x) = \frac{5}{2} - \frac{5}{1+x^2} \end{align}$ Dann habe ich ein paar Punkte ausgerechnet und mit der Zeichnung verglichen. Und im Rahmen der Zeichengenauigkeit stellte ich Übereinstimmung fest. Also hatte ich es getroffen. Weitere Anpassungen waren nicht nötig.
03.03.2023, 09:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wobei hinzuzufügen ist (und um der Frage vorzubeugen "wie soll ich armer Schüler denn darauf kommen"), dass die Funktionsterm-Angabe nicht wirklich nötig ist, um a)b)c) zu bearbeiten. Aber aus sportlichem Ehrgeiz kann man das natürlich tun.
02.05.2023, 09:08	bubu000	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion aufstellen Vielen lieben Dank für den Input.
07.05.2023, 12:33	andyrue	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion aufstellen habe zu der aufgabe c.) dennoch noch eine frage: wenn b einen wert aus [-5; -1[ annimmt - müsste dann der wert des integrals nicht auch negativ sein? zwar ist die abgebildete integralfunktion in diesem bereich ja positiv, aber dadurch dass beim integral die größere zahl unten steht und die kleinere oben müsste das ergebnis doch negativ sein?
07.05.2023, 13:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du denn darauf? $\begin{eqnarray} J_{-1}(b) = \int\limits_{-1}^b f(x) ~ \dd x \end{eqnarray}$ ist im obigen Scan abgebildet und wie dort erkennbar positiv im Intervall $\begin{eqnarray} [-5,-1) \end{eqnarray}$ . Richtig ist, dass dann dort "bei richtiger Integralgrenzenanordnung" $\begin{eqnarray} \int\limits_b^{-1} f(x) ~ \dd x < 0 \end{eqnarray}$ gilt, aber darum geht es bei der Frage ja nicht.
07.05.2023, 21:42	andyrue	Auf diesen Beitrag antworten »
.. was dann heißt dass f(x) für x < -1 unterhalb der x-achse verläuft, ich verstehe
08.05.2023, 09:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, Integrand $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ als Ableitung von $\begin{eqnarray} J_{-1}(x) \end{eqnarray}$ ist im Intervall $\begin{eqnarray} [-5,0] \end{eqnarray}$ negativ. Mit einem für $\begin{eqnarray} b<-1 \end{eqnarray}$ "falsch" orientierten Integrationsintervall in $\begin{eqnarray} \int\limits_{-1}^b \end{eqnarray}$ wird dann aber das Integral über diese Funktion positiv. Ich weiß, da kann man leicht einen Knoten im Gehirn bekommen, wenn man sowas noch nicht oft gesehen hat. Sowas ist ja auch speziell der Schreibweise $\begin{eqnarray} \int\limits_a^b \end{eqnarray}$ geschuldet, wo man $\begin{eqnarray} a>b \end{eqnarray}$ zulässt. Bei Schreibweise $\begin{eqnarray} \int\limits_M \end{eqnarray}$ mit irgendwelchen Teilmengen $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ der reellen Zahlen, z.B. Intervall $\begin{eqnarray} M=[a,b] \end{eqnarray}$ , ist ein solches $\begin{eqnarray} a>b \end{eqnarray}$ ja gar nicht zugelassen. Ist übrigens auch eine Besonderheit der Integralschreibweise, für die es meines Wissens nach kein Analogon für die Summenschreibweise gibt: So gilt dort die Übereinkunft $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^0 a_k = 0 \end{eqnarray}$ zu setzen, d.h. als "leere" Summe ohne Summanden - und nicht etwa, das durch "Rückwärtszählen" des Index als gleichwertig zu $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^1 a_k = a_0+a_1 \end{eqnarray}$ anzusehen. Die genannte Übereinkunft mit der leeren Summe hat u.a. den hintergründigen Sinn, die Rekursion $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n a_k = \left(\sum_{k=1}^{n-1} a_k\right) + a_n \end{eqnarray}$ auch für $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ als gültig zu erachten. Ist oft sehr praktisch, z.B. bei Induktionsbeweisen.

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