Fehlerabschätzung Taylor

27.02.2023, 18:19

Cinzio22

Fehlerabschätzung Taylor

Hi zusammen

Ich möchte y = cos(x) mit einem Taylorpolynom 4. Grades annähern.
Das ging soweit ganz gut: g(x) = 1/24 x^4 - 1/2 x^2 + 1

Nun soll ich im Intervall [-1, 1] eine Fehlerabschätzung durchführen. Wie geht das?

27.02.2023, 20:20

HAL 9000

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Gemeint ist womöglich eine Abschätzung des Taylorformel-Restglieds - in der Lagrangeform sieht das so aus:

Es ist $\begin{eqnarray*} \cos(x) = 1-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + R_6(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} R_6(x) = -\frac{\cos(x\cdot \theta(x))}{720}x^6 \end{eqnarray*}$

in dem Sinne, dass für jedes reelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein solches $\begin{eqnarray*} \theta(x)\in (0,1) \end{eqnarray*}$ existiert. Für $\begin{eqnarray*} x\in[-1,1] \end{eqnarray*}$ kann man dieses Restglied also abschätzen gemäß

$\begin{eqnarray*} \left|R_6(x)\right|\leq \frac{1}{720}\cdot 1^6 = \frac{1}{720} \end{eqnarray*}$ .

28.02.2023, 11:03

Cinzio22

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Vielen Dank für die Antwort!

Wäre die ursprüngliche Funktion y = x * sin(x) gewesen, konnte man das Restglied mit 1/120 abschätzen, oder?

Danke fürs kurze Nachrechnen.

28.02.2023, 11:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Cinzio22
Wäre die ursprüngliche Funktion y = x * sin(x) gewesen, konnte man das Restglied mit 1/120 abschätzen, oder?

Dazu müsstest du zuerst mal sagen, durch welches Polynom du dein $\begin{eqnarray*} x\cdot\sin(x) \end{eqnarray*}$ da abschätzen willst.

28.02.2023, 11:15

Cinzio22

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Ah klar. Ich möchte die Funktion ebenfalls durch ein Taylorpolynom 4. Grades abschätzen.

28.02.2023, 11:20

HAL 9000

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Dann rechne das doch erstmal aus. Die Funktion $\begin{eqnarray*} x\cdot \sin(x) \end{eqnarray*}$ mehrfach ableiten möchte man sich nicht gern antun, daher betrachte am besten die Taylorreihe der Sinusfunktion und multipliziere die am Ende mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

28.02.2023, 17:02

Cinzio22

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@HAL: Frage: Hättest du bei deinem ersten Beitrag nicht $\begin{eqnarray*} + R_5 \end{eqnarray*}$ berechnen müssen?

Wenn ich streng nach Formelbuch vorgehe, hätte $\begin{eqnarray*} R_5 \end{eqnarray*}$ berechnet werden müssen, mit der 5. Ableitung... oder nicht? Bzw. warum hast du hier $\begin{eqnarray*} R_6 \end{eqnarray*}$ berechnet?

28.02.2023, 21:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Cinzio22
@HAL: Frage: Hättest du bei deinem ersten Beitrag nicht $\begin{eqnarray*} + R_5 \end{eqnarray*}$ berechnen müssen?

Da das 5.Taylorpolynom genauso lautet wie das 4.Taylorpolynom (sprich: auf Stufe 5 nichts dazukommt, also $\begin{eqnarray*} 0\cdot x^5 \end{eqnarray*}$ ), kann ich auch $\begin{eqnarray*} R_6 \end{eqnarray*}$ nehmen - zumal das eine deutlich GENAUERE Abschätzung ermöglicht. Denn das ist doch das Ziel, oder?

28.02.2023, 21:55

Cinzio22

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Das ist wohl wahr! smile

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