Flussintegral durch Fläche im R^2

04.03.2023, 12:16	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Flussintegral durch Fläche im R^2 Hi Leute Ich könnte wieder sehr gut eure Hilfe gebrauchen. Es geht darum den Fluss $\begin{eqnarray} \oint_C \vec{F}\,\mathrm{d}\vec{n} \end{eqnarray}$ des Vektorfeldes $\begin{eqnarray} \vec{F}=\begin{pmatrix}3y\\\frac{x^3-x^2}{9}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ durch die geschlossene Kurve $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ zu berechnen, die aus den Teilkurven $\begin{eqnarray} C_1: y=sin(\frac{\pi}{3}x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C_2: y=0,\ x\in[0,3] \end{eqnarray}$ besteht. Ich weiß zwar, dass mit Hilfe des Integralsatzes von Gauß die Sache in Sekunden erledigt wäre, weil ja der Fluss durch die geschlossene Fläche gleich der summierten Quelldichte über die eingeschlossene Fläche ist und das ergibt: $\begin{eqnarray} \oint_C \vec{F}\,\mathrm{d}\vec{n} = \oint_C \vec{F}\cdot \frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\,\mathrm{d}s = \iint_A\text{div}(\vec{F})\,\mathrm{d}A = \iint_A 0\,\mathrm{d}A = 0. \end{eqnarray}$ Allerdings soll der Fluss durch die beiden Teilkurven einzeln ausgerechnet werden. Hier brauche ich eure Hilfe. Um den Fluss durch die Kurve $\begin{eqnarray} C_1 \end{eqnarray}$ zu bestimmen, parametrisiere ich die Kurve $\begin{eqnarray} \vec{r}(t) \end{eqnarray}$ , bestimme den Betrag des zugehörigen Tangentialvektor $\begin{eqnarray} \|\vec{r}'(t)\| \end{eqnarray}$ und bestimme den Normalenvektor $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ , der senkrecht auf der Kurve steht. $\begin{eqnarray} \vec{r}(t)=\begin{pmatrix}t\\ \sin(\frac{\pi}{3}t)\end{pmatrix}\ (t\in[0,3]), \quad \|\vec{r}'(t)\|=\sqrt{1+\frac{\pi^2}{9}\cos^2(\frac{\pi}{3}t)},\quad \vec{n}=\begin{pmatrix}\sin(\frac{\pi}{3}t)\\-t\end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann ergibt sich mit $\begin{eqnarray} \mathrm{d}\vec{n} = \dfrac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\,\mathrm{d}s = \dfrac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\cdot\|\vec{r}'(t)\|\,\mathrm{d}t \end{eqnarray}$ allerdings ein sehr unangenehmer Term, bei dem ich mir nicht mehr vorstellen kann, dass ich alles richtig gemacht habe. Könnt ihr mir hier bitte wieder weiter helfen und erklären, wo mein Denkfehler ist? Vielen lieben Dank schon einmal jetzt!
05.03.2023, 10:18	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flussintegral durch Fläche im R^2 Ich hab den Fehler gefunden. Es gilt ja nicht $\begin{eqnarray} \vec{n}\perp \vec{r} \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} \vec{n}\perp\vec{r}' \end{eqnarray}$ . Damit ist der Normalenvektor $\begin{eqnarray} \vec{n}=\begin{pmatrix}-\frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{3}t)\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und das Ergebnis ist sehr einfach zu bestimmen, weil $\begin{eqnarray} \|\vec{n}\| = \|\vec{r}'\| \end{eqnarray}$ sich rauskürzt

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »