Partielle Ableitung an einem Rand |
| 10.03.2023, 19:26 | Michi123 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Partielle Ableitung an einem Rand Hey, bin bei einer Angabe auf eine Funktion f: (R x R+ mit 0) -> R gestoßen, die stetig differenzierbar sein soll. Ich dachte jedoch, dass Ableitungen nur auf offenen Mengen definiert sind. Wie kann man sich also die partielle Ableitung in (x, 0) nach der zweiten Koordinate vorstellen? Also eine partielle Ableitung (x, y) -> (x, 0). Btw sorry, hatte bis jetzt noch kein Latex. Kommt dieses Semester bald. Meine Ideen: Eigentlich haben wir im Studium bis jetzt nur mit Ableitungen in offenen Mengen gearbeitet. Ist eine solche Ableitung mittels einem einseitigen Grenzwert überhaupt erlaubt oder habe ich gerade irgendeinen Denkfehler? |
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| 11.03.2023, 01:11 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » |
Betrachte zunächst eine reelle Funktion in einer Variablen. 1. Rechne zunächst nach, ob der gewöhnliche Grenzwert im Rand des Definitionsbereichs mit dem einseitigen Grenzwert übereinstimmt. Beachte dabei, dass das, was sich außerhalb des Definitionsbereichs befindet, nicht existiert. 2. Nimm die Definition der Ableitung nun wortwörtlich. 3. Beachte, dass sich die Definition der partiellen Ableitung auf die Ableitung einer Funktion in einer Variablen zurückführen lässt, da alle Variablen außer einer fix gehalten werden. 4. Mit der totalen Ableitung verhält es sich so, wie du dachtest; man will sie eigentlich nur für innere Punkte definieren. Ich mag dazu auf den Faden Differenzierbarkeit auf abgeschlossenen Mengen verweisen. |
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