Integral umschreiben

17.03.2023, 16:27

Einstein1879

Integral umschreiben

Hallo,

wie kommt man von folgendem Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi} d\theta \, sin^{3}(\theta) \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\int_{-1}^{+1} dcos(\theta) \, (1-cos^{2}(\theta))}_{2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}} \end{eqnarray*}$

Ich wäre um etwas Hilfe sehr dankbar.

17.03.2023, 16:30

Leopold

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$\begin{align*} \sin^3 ( \vartheta ) = \sin^2 ( \vartheta ) \cdot \sin ( \vartheta ) \end{align*}$

Dann der trigonometrische Pythagoras und $\begin{align*} \sin ( \vartheta ) \end{align*}$ , abgesehen vom Vorzeichen, als Ableitung von $\begin{align*} \cos ( \vartheta ) \end{align*}$ identifizieren.

17.03.2023, 20:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
abgesehen vom Vorzeichen

Und dieses Vorzeichen-Problem wird durch Vertauschung der (substituierten) Integrationsgrenzen gelöst.

18.03.2023, 08:19

Leopold

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Und solange die Variable $\begin{align*} \vartheta \end{align*}$ heißt, sollte man es bei den Integrationsgrenzen auch bei $\begin{align*} \pi \end{align*}$ und 0 belassen.

18.03.2023, 11:50

IfindU

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@Leopold: Die "Integrationsvariable" wäre wohl hier, im Sinne von Riemann-Stieltjes, $\begin{eqnarray*} \cos(\theta) \end{eqnarray*}$ . Und in dem Sinne auch korrekt. (Insofern man die Physiker-Schreibweise toleriert).

18.03.2023, 14:05

Leopold

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Ja, das ist etwas verzwickt. Für mich ist $\begin{align*} \dd \cos( \vartheta ) \end{align*}$ nur eine andere Schreibweise für $\begin{align*} - \sin ( \vartheta ) ~ \dd \vartheta \end{align*}$ . Insofern ist immer noch $\begin{align*} \vartheta \end{align*}$ die Integrationsvariable. Wenn man jedoch $\begin{align*} \cos( \vartheta ) \end{align*}$ als formale Variable auffaßt, könnte man das am Integralzeichen vermerken, vielleicht so: $\begin{align*} \int \limits_{\cos(\vartheta)=\pi}^{\cos(\vartheta)=0} \end{align*}$ .
Aber was rede ich! Die Physiker machen das sowieso so, wie sie das brauchen.

18.03.2023, 15:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Wenn man jedoch $\begin{align*} \cos( \vartheta ) \end{align*}$ als formale Variable auffaßt, könnte man das am Integralzeichen vermerken, vielleicht so: $\begin{align*} \int \limits_{\cos(\vartheta)=\pi}^{\cos(\vartheta)=0} \end{align*}$ .

Jetzt hat diese seltsame Symbolik sogar Leopold in die Verwirrung getrieben: Gemeint war hier wohl $\begin{eqnarray*} \int \limits_{\cos(\vartheta)=-1}^{\cos(\vartheta)=1} \end{eqnarray*}$ , oder doch was anderes? verwirrt

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Naja, dem Fragesteller ist vermutlich eher damit gedient, dass die Schreibweise oben (etwas verkappt) die Substitution $\begin{eqnarray*} v=\cos(\theta) \end{eqnarray*}$ meint: Mit $\begin{eqnarray*} \dd v = -\sin(\theta)~\dd\theta \end{eqnarray*}$ folgt dann

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\pi} \sin^3(\theta) ~ \dd\theta \stackrel{(S)}{=} -\int\limits_{\cos(0)}^{\cos(\pi)} \left(1-v^2\right) ~ \dd v \stackrel{(V)}{=} \int\limits_{-1}^1 \left(1-v^2\right) ~ \dd v = \left[v - \frac{v^3}{3}\right]_{v=-1}^1 = \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ .

((S) wie Substitution und (V) wie Vertauschung der Integrationsgrenzen.)

18.03.2023, 19:14

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Ja, totale Verwirrung! Gemeint habe ich $\begin{eqnarray*} \int \limits_{\cos(\vartheta)=-1}^{\cos(\vartheta)=1} \end{eqnarray*}$ , geschrieben etwas anderes. Da fällt mir jener Kalauer über den verwirrten Mathematikprofessor ein, als er eine Rechnung an die Tafel schrieb:

Er schrieb $\begin{align*} \beta \end{align*}$ , sagte $\begin{align*} \vartheta \end{align*}$ , meinte $\begin{align*} \zeta \end{align*}$ , und richtig wäre $\begin{align*} \eta \end{align*}$ gewesen.

Und ob jetzt $\begin{align*} \cos( \vartheta ) = \pi \end{align*}$ ist oder $\begin{align*} \cos ( \pi ) = \vartheta \end{align*}$ oder $\begin{align*} \cos( \vartheta ) = -1 \end{align*}$ oder $\begin{align*} \cos(-1) = \pi \end{align*}$ - es scheint mir tatsächlich entfallen zu sein. Aber ich wollte sowieso gleich an den Kühlschrank, um mir ein kühles Feierabendbier zu gönnen. Prost

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