Taylorreihe zu Funktion xe^(-x^3)

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10.05.2023, 19:22	NewMathematiker95	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihe zu Funktion xe^(-x^3) Hallo zusammen, soll ne Taylorreihe bestimmen zu $\begin{eqnarray} f(x)=xe^{-x^3} \end{eqnarray}$ habe dazu erstmal die ersten 5 Ableitungen bestimmt: $\begin{eqnarray} f'(x)= -(3x^3-1)e^{-x^3} \ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x)= (9x^5-12x^2)e^{-x^3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(x)= - (27x^7-81x^4+24x)e^{-x^3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^4(x)=(81x^9-432x^6+396x^3-24)e^{-x^3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^5(x)= - (243x^{11}-2025x^8+3780x^5-1260x^2)e^{-x^3} \end{eqnarray}$ Ich wollte eine Formel finden, für alle Ableitungen, weil wir ja ne Reihe aufstellen sollen und nicht nur ein Polynom bis zu nem bestimmtem Grad Dinge dir mir aufgefallen sind i) Die Ableitungen haben ein alternierendes Vorzeichen erst positiv dann negativ etc. ii) Der Abstand der Auftauchenden Potenzen in den Ableitungen beträgt immer 3 iii) $\begin{eqnarray} e^{-x^3} \end{eqnarray}$ taucht immer wieder auf ist ja kein wunder ist ne E Funktion iv) Der Höchste Grad der Ableitungen erhäht sich immer um 2 (kommt durch die Kettenregel) Kann mir wer weiterhelfen , oder sagen ob meine Überlegungen überhaupt was bringen? Danke schonmal
10.05.2023, 19:30	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst es natürlich so versuchen. Ich kann aber verstehen, warum du drohst wahnsinnig zu werden. Eine geeignetere Alternative wäre die Taylorreihe von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ aus der Taylorreihe von $\begin{eqnarray} \exp \end{eqnarray}$ herzuleiten. Du weißt, dass $\begin{eqnarray} e^y = \sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{n!} \end{eqnarray}$ ist. Was ist dann $\begin{eqnarray} e^{-x^3} \end{eqnarray}$ ? Was ist dann $\begin{eqnarray} x e^{-x^3} \end{eqnarray}$ und was ist endlich die Taylorreihe von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ?
10.05.2023, 20:16	NewMathematiker95	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe mal gerechnet und komme dann für $\begin{eqnarray} f(x)=xe^{-x^3} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{3k}}{k!} x^{3k+1} \end{eqnarray}$ stimmt das? Ich habe erstmal (-x^3) für x eingesetzt in der normalen Reihe für e Funktion und am Ende die Reihe mit x multipliziert
10.05.2023, 20:20	NewMathematiker95	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt natürlich nur wenn Entwicklungspunkt 0 ist ^^ was es laut der Aufgabe ist
10.05.2023, 20:20	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das passt Man kann $\begin{eqnarray} (-1)^{3k} \end{eqnarray}$ noch etwas vereinfachen. Und je nachdem kann man auch noch $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ angeben mit $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{3k}}{k!} x^{3k+1} =\sum_{k=0}^\infty b_n x^{n} \end{eqnarray}$ . Letzteres aber auch nur, wenn man unbedingt alle Summanden der Taylorreihe "sehen" will (d.h. der Exponent von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ alle Werte mal durchläuft).
10.05.2023, 20:26	NewMathematiker95	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau zu $\begin{eqnarray} (-1)^k \end{eqnarray}$ . Wenn ich davon jetzt bestimmte Taylorpolynome haben will, muss ich doch nur bis zur jeweilgen Grenze rechnen zum Beispiel für k=3 dann nur vom Sumanden 0 bis 3
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10.05.2023, 20:31	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
An der Stelle wäre die Darstellung mit $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ ganz nett. Weil der Exponent von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ den Wert $\begin{eqnarray} 3k+1 \end{eqnarray}$ hat, bekommst du für $\begin{eqnarray} k= 0 \end{eqnarray}$ das Taylorpolynom vom Grad $\begin{eqnarray} 3\cdot 0 + 1 =1 \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} k=1 \end{eqnarray}$ schon das für Grad $\begin{eqnarray} 3 \cdot 1 + 1 = 4 \end{eqnarray}$ usw. Du siehst auch in deinen Rechnungen, dass die meisten Summanden im Taylorpolynom 0 sind. Wenn du $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ in die Ableitungen einsetzt, siehst du nur $\begin{eqnarray} f'(0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f^{(4)}(0) \end{eqnarray}$ sind ungleich 0. Der nächste Wert ungleich 0 wäre $\begin{eqnarray} f^{(7)}(0) \end{eqnarray}$ und dann die 10., 13. etc. Ableitung.
10.05.2023, 20:39	NewMathematiker95	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hätte jetzt erstmal dann 3k+1=n gesetzt und nach k aufgelöst. Aber das macht das ja wenn ich jetzt das für k überall einsetze , dass bn nicht unbedingt einfacher sondern komplizierter...
10.05.2023, 20:49	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Zugegeben ist die Darstellung, aber auch nicht super hübsch: $\begin{eqnarray} b_n = \begin{cases} \frac {(-1)^k}{k!} & \text{falls }n=3k+1 \\ 0 &\text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ . Wobei $\begin{eqnarray} n=3k+1 \end{eqnarray}$ zu lesen ist, als "Es gibt ein $\begin{eqnarray} k\in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n=3k+1 \end{eqnarray}$ ". Man kann es auch umschreiben mit "Falls $\begin{eqnarray} 3 \| n-1 \end{eqnarray}$ oder ähnliches. Wichtig ist zu erkennen, dass $\begin{eqnarray} b_n =0 \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ nicht $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ teilt.
10.05.2023, 21:36	NewMathematiker95	Auf diesen Beitrag antworten »
danke dir so sehr

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