Stetigkeit

13.05.2023, 11:54

Manni2

Stetigkeit

Meine Frage:
Gegeben ist: $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{sin(x)*sin(y)}{x^2+y^2} , (x,y)\neq (0,0); f(x,y)=0 \text{ für } (x,y)=(0,0) \end{eqnarray*}$ und zu untersuchen ist die Stetigkeit in (0,0). Dazu betrachte ich $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x,0)=0\cdot \frac{\text{sin}(x)}{x^2} =0 \end{eqnarray*}$ , also ist der Grenzwert gleich dem Funktionswert und die Funktion stetig. Ist das so korrekt?

Meine Ideen:
?

13.05.2023, 12:00

HAL 9000

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Sie ist nicht stetig, man schaue sich etwa $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to 0} f\left(t,t\right) = \frac{\sin^2(t)}{2t^2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ an, für Stetigkeit hätte der Grenzwert 0 sein müssen.

13.05.2023, 12:02

Manni2

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Wo ist dann der Fehler bei meiner Argumentation?

13.05.2023, 12:07

Helferlein

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Du betrachtest nur die Annäherung aus einer Richtung (x,0). Für Stetigkeit muss der Grenzwert aber aus allen Richtungen gleich dem Funktionswert sein.

13.05.2023, 12:21

Manni2

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Aha, verstanden. Wenn ich allerdings zeigen wollte, dass eine Funktion nicht stetig ist, genügt es aber aus $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x,0)\neq f(0,0) \end{eqnarray*}$ zu zeigen oder?

13.05.2023, 13:17

Helferlein

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Hab oben mein Posting etwas korrigiert. Es reicht nicht, dass die Genzwerte identisch sind, wenn der Funktionswert an der Stelle vom Grenzwert abweicht.

Daher reicht zur Widerlegung ein Gegenbeispiel.

13.05.2023, 13:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von Manni2
Wenn ich allerdings zeigen wollte, dass eine Funktion nicht stetig ist, genügt es aber aus $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x,0)\neq f(0,0) \end{eqnarray*}$ zu zeigen oder?

Sofern du das zeigen kannst, ist es hinreichend für fehlende Stetigkeit, ja.

Aber wie gesagt nur hinreichend, nicht notwendig - dein Beispiel oben zeigt das ja deutlich.

Wie gesehen reicht der Nachweis von $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} f\left(x,0\right) = f(0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{y\to 0} f\left(0,y\right) = f(0,0) \end{eqnarray*}$ nicht aus für die Stetigkeit im Punkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ , ja nicht einmal die Annäherung über JEDE mögliche Gerade ist ausreichend, also $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to 0} f\left(at,bt\right) = f(0,0) \end{eqnarray*}$ mit beliebig gewählten $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ - Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{cases} 0 &\mbox{ für }x=y=0\\ \frac{x^2y}{x^4+y^2} &\mbox{ sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ ,

denn hier ist tatsächlich $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to 0} f\left(at,bt\right) = \lim_{t\to 0} \frac{a^2bt^3}{a^4t^4+b^2t^2} = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} (a,b)\neq (0,0) \end{eqnarray*}$ , jedoch

$\begin{eqnarray*} \lim_{t\to 0} f\left(t,t^2\right) = \lim_{t\to 0} \frac{t^4}{2t^4} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Ist also im allgemeinen Fall eine nicht zu unterschätzende Angelegenheit, ein solcher Stetigkeitsbeweis.

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