Wie lässt sich aus 5 Vektoren aus P eine Basis des R^4 bilden?

14.06.2023, 18:48

schwalbe123

Wie lässt sich aus 5 Vektoren aus P eine Basis des R^4 bilden?

Meine Frage:
gegeben sind 5 Vektoren in P (x,y,z,k) wie kann ich daraus eine Basis bilden und die Dimension des Erzeugnis P berechnen

Meine Ideen:
Lineare Unabhängigkeit
Matrixdarstellung

15.06.2023, 08:50

HAL 9000

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Was meinst du mit $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ ? Egal, ich würde deine Anfrage so deuten, dass du fünf Vektoren aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ hast und möchtest nun eine Basis für deren Lineare Hülle $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ bestimmen. Allerdings ist bei beliebiger Zusammenstellung dieser fünf Vektoren keineswegs immer gewährleistet, dass $\begin{eqnarray*} M=\mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ ist (wie es in deinem Threadtitel suggeriert wird), d.h., möglicherweise ist die Dimension von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ auch nur 3 oder noch kleiner.

15.06.2023, 10:18

schwalbe123

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Ich habe die genaue Aufgabe nicht mehr gefunden, aber hier die Vektoren:
(1,1,0,0),(-1,-1,-1,2),(1,0,0,1),(-1,0,-1,1),(1,1,-1,2)

15.06.2023, 10:29

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Wenn du eine Basis des davon erzeugen Vektorraums haben willst, dann schreib die fünf Zeilen untereinander in eine Matrix und wende den Gauß-Algorithmus an. Die Pivotzeilen sind Basisvektoren, ihre Anzahl die Dimension des erzeugten VR.

15.06.2023, 10:57

schwalbe123

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d.h. es müssen die Vektoren nicht in der Basis vorkommen?
Schreibe ich die Vektoren in Zeilen oder Spalten
Dimension wäre 3 habe ich berechnet stimmt das

15.06.2023, 11:23

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Zitat:

Original von schwalbe123
d.h. es müssen die Vektoren nicht in der Basis vorkommen?

Nein, warum sollten sie? Das war nicht gefordert. Wenn du das partout willst, merk die welche Vektoren in welcher Zeile standen. Die Pivotzeilen korrespondieren dann zu den ursprünglichen. Also wenn die dritte Zeile eine Pivotzeile ist, dann kannst du den dritten Vektor als Basisvektor nehmen.

Zitat:

Original von schwalbe123
Schreibe ich die Vektoren in Zeilen oder Spalten

Zeilen

Rang 3 kann ich bestätigen.

15.06.2023, 11:35

schwalbe123

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ich habe jetzt als Basis (1,0,0,1),(0,1,0,-1),(0,0,1-2)
Brauche ich aber nicht 4 Vektoren für den R^4, wie finde ich einen 4. Vektor?

15.06.2023, 11:41

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HAL hat doch gleich zu Beginn darauf hingewiesen, dass deine fünf Vektoren vielleicht nicht den R^4 aufspannen.

15.06.2023, 11:56

schwalbe123

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in der Aufgabe soll aber eine Basis von P (die 5 Vektoren) bestimmt werden, oder muss P dann keine 4 Vektoren beinhalten? wegen dim(P)=3 reichen 3 Vektoren als Basis von P, ich dachte es sollte R^4 bilden, es reicht aber eine Basis von P

15.06.2023, 15:12

schwalbe123

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Stimmt die Aussage dann, wenn eine Basis von P gesucht ist?

15.06.2023, 15:15

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Du hast zumindest drei linear unabhängige Vektoren angegeben, den ersten und dritten finde ich auf die Schnelle im VR, der von den fünf gegebenen Vektoren erzeugt wird. Nachdem du nicht angibst, was du gerechnet hast, weiß ich nicht, ob der zweite stimmt.

15.06.2023, 15:27

schwalbe123

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Reichen 3 Vektoren für eine Basis von P in R^4?

15.06.2023, 16:07

HAL 9000

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Ein Problem ist, dass du dich falsch ausdrückst:

Aus den letzten Beiträge errate ich mal, dass mit $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ der Unterraum gemeint ist, der von deinen 5 Vektoren aufgespannt wird (oder "Lineare Hülle der 5 Vektoren", so wie ich es oben genannt hatte). Und du suchst jetzt eine Basis von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ , d.h. NICHT vom $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ .

Wenn du es noch nicht beherrschst, unfallfrei umzuformulieren, dann nenne doch bitte das nächste mal die Original-Aufgabenstellung.

15.06.2023, 16:44

schwalbe123

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Ok danke, wenn ich nun einen Vektor durch einen anderen ersetzen will, stelle ich einfach nochmal die Matrix auf oder prüfe den neuen auf lineare Unabhängigkeit?

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