Erwartungswert - Differenz zweier auf [0,1] gleichverteilter i.i.d verteilter ZV. im Betrag

17.06.2023, 20:37

the.noob

Erwartungswert - Differenz zweier auf [0,1] gleichverteilter i.i.d verteilter ZV. im Betrag

Meine Frage:
Hey zusammen,
ich komme bei einer Stochastik Aufgabe nicht weiter und würde mich über eure Hilfe freuen smile

X,Y sind gleichverteilt, unabhängig und identisch verteilt auf dem Intervall [0,1] und nun ist nach dem Erwartungswert von |X-Y| gefragt.

Meine Ideen:
Mein Ansatz: Transformationsformel, da X und Y gemeinsame Dichte haben sollten wenn sie identisch verteil sind.
Danke für jede Hilfe smile

17.06.2023, 21:16

HAL 9000

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Naja, es ist $\begin{eqnarray*} E|X-Y| = \int\limits_0^1 \int\limits_0^1 |x-y| ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$ .

Mit einer geschickten Aufteilung des inneren Integralintervalls kannst du den Betrag loswerden.

17.06.2023, 21:38

the.noob

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Danke für die Antwort. Bin auch darauf gekommen und habe 1/3 raus smile

Schönen Abend noch

17.06.2023, 22:00

HAL 9000

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Ist richtig. Freude

17.06.2023, 22:31

the.noob

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Yeah danke!
Grüebl jetzt noch weiter daran:
Jetzt betrachtet man die Menge X_1,_,X_n, Y_1,_,Y_n Zva. die alle die gleiche Eigenschaft wie X und Y haben.
Dann definiert man U_i=|X_i-Y_i| und man soll P( $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{n}U_i>32,5 \end{eqnarray*}$ ) bestimmen.
Als Tipp steht : Zentralergrenzwert Satz
Ich weiß aus dem vorherigen Teil E(U_i)=1/3 und weiter hab ich ausgerechnet Var(U_i)=1/6
Ich weiß aber nicht wie die U_i verteilt sind und komme leider nicht weiter...

17.06.2023, 22:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von the.noob
Ich weiß aber nicht wie die U_i verteilt sind und komme leider nicht weiter...

Musst du ja auch nicht, für die Normalverteilungsapproximation gemäß Zentralem Grenzwertsatz (ZGWS) genügen Erwartungswert und Varianz der $\begin{eqnarray*} U_i \end{eqnarray*}$ . Sollte aber nicht wenigstens noch Anzahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bekannt sein? verwirrt

Und noch was: Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n \end{eqnarray*}$ enthält genau $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ Summanden. Ich könnte mir vorstellen, dass du stattdessen eher $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \end{eqnarray*}$ meinst, mit genau $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Summanden.

Zitat:

Original von the.noob
und weiter hab ich ausgerechnet Var(U_i)=1/6

Da rechne besser nochmal nach: Es ist zwar $\begin{eqnarray*} E\left[U_i^2\right]=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ , aber das bedeutet ja NICHT $\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}\left[U_i\right]=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ . unglücklich

18.06.2023, 10:56

the.noob

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[quote]Original von HAL 9000
Musst du ja auch nicht, für die Normalverteilungsapproximation gemäß Zentralem Grenzwertsatz (ZGWS) genügen Erwartungswert und Varianz der $\begin{eqnarray*} U_i \end{eqnarray*}$ . Sollte aber nicht wenigstens noch Anzahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bekannt sein? ?
Ups Hammer

, ja ist es smile

: n = 99

[quote]Original von HAL 9000
Und noch was: Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n \end{eqnarray*}$ enthält genau $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ Summanden. Ich könnte mir vorstellen, dass du stattdessen eher $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \end{eqnarray*}$ meinst, mit genau $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Summanden.
Ja stimmt danke!

Hatte bei der Varianz 1/18 raus hab aber ausversehen nur E(X^2) geschrieben...

Hab es jetzt so probiert: S_99 Abkürzung für die Summe mit n=99, Z_99 = Standardisierte Zva.
P(S_99>32,5) = 1 - P(S_99 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 32,5)= 1 -P(Z_99 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ -0,904)
$\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ 1- $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ (-0,904) = 1-(1 - $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ (0,904))=1-(1-0,82639)=0,8264

18.06.2023, 11:09

HAL 9000

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Mal langsam, nicht fünf Schritte auf einmal: Wir haben $\begin{eqnarray*} S_n = \sum_{i=1}^n U_i \end{eqnarray*}$ dann mit $\begin{eqnarray*} E\left(S_n\right) = nE\left(U_1\right) = \frac{n}{3} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}\left(S_n\right) = n\operatorname{Var}\left(U_1\right) = \frac{n}{18} \end{eqnarray*}$ und somit für $\begin{eqnarray*} n=99 \end{eqnarray*}$ dann

$\begin{eqnarray*} P\left(S_{99} > 32.5\right) = 1-P\left(S_{99} \leq 32.5\right) \approx 1 - \Phi\left( \frac{32.5-E\left(S_{99}\right)}{\sqrt{\operatorname{Var}\left(S_{99}\right)}}\right) = 1 - \Phi\left( \frac{32.5-33}{\sqrt{5.5}}\right) \approx 1-\Phi\left(-0.2132\right) = \Phi\left(0.2132\right) \end{eqnarray*}$ .

19.06.2023, 15:19

the.noob

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Hey, danke für die Antwort. Sorry für die späte Antwort. Aber ich hab noch andere Aufgaben gemacht und diese vergessen...
Hab das mit der Varianz und dem Erwartungswert für die Summe ganz vergessen.
Fehlt bei deiner Rechnung nicht auch Wurzel aus 99?
Lg the.noob

19.06.2023, 15:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von the.noob
Fehlt bei deiner Rechnung nicht auch Wurzel aus 99?

Ich wüsste nicht wo. Und da haben wir ein weiteres Problem: Einfach sagen, dass "irgendwo" was fehlt ohne genau zu benennen wo. Wenn wir Helfer uns auch immer so ausdrückten, dann würdet ihr aber ganz schön dumm aus der Wäsche schauen.

Aber evtl. ahne ich, was du meinst: Womöglich hast du das $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{n}{18}} = \sqrt{\frac{99}{18}} = \sqrt{5.5} \end{eqnarray*}$ nicht erkannt.

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