Durchschnitt der Zufallsvariablen und ihre Konvergenz

22.06.2023, 15:35	Hann04	Auf diesen Beitrag antworten »
Durchschnitt der Zufallsvariablen und ihre Konvergenz Meine Frage: Gegeben seien zwei Folgen von Zufallsvariablen mit $\begin{eqnarray} X_i \stackrel{iid}{\sim} \mathcal{U}(\{1,2,3,4,5\}), \ \ \ Y_i\stackrel{iid}{\sim} \mathcal{NB}\left(4,\frac{1}{2}\right),\ i\in \mathbb N \end{eqnarray}$ sowie die Folgen der Mittelwerte $\begin{eqnarray} \overline{X}_n:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i, \ \ \ \overline{Y}_n:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i, \ i \in \mathbb N \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \overline{X}_n+ \overline{Y}_n \stackrel{\mathbb P}{\longrightarrow} a, \ \ \ \overline{X}_n \cdot \overline{Y}_n \stackrel{\mathbb P}{\longrightarrow} b \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Für X_n + Y_n habe ich das starke Gesetz der großen Zahlen verwendet und a ist genau die Summe der Erwartungswerte, also 11. Für XY habe ich GGZ, Tshebyscheffsche Ungleichung und Zentraler Grenzwertsatz überlegt, aber kann trotzdem nicht lösen.
22.06.2023, 16:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathcal{U} \end{eqnarray}$ steht sicher für "uniform", hier speziell die diskrete Gleichverteilung auf der angegebenen Menge. Bei $\begin{eqnarray} \mathcal{NB} \end{eqnarray}$ bin ich mir weniger sicher, vielleicht "Negative Binomialverteilung" ? Das Kursive hat mich irritiert, das verwendet man sonst eher nur bei der Normalverteilung. Falls ja, nun wo ist das Problem beim Produkt? Beide Faktoren konvergieren gemäß starkem GgZ fast sicher, damit konvergiert auch das Produkt fast sicher gegen das Produkt der beiden Erwartungswerte. EDIT: Ok, es ist keine Rede davon, dass $\begin{eqnarray} \left(X_i\right) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \left(Y_i\right) \end{eqnarray}$ unabhängig ist, vielleicht verursacht das deine Bedenken. Da könnte vielleicht $\begin{eqnarray} \bar{X}_n\cdot \bar{Y}_n = \frac{1}{4}\left[ \left(\bar{X}_n+\bar{Y}_n\right)^2 - \left(\bar{X}_n-\bar{Y}_n\right)^2\right] \end{eqnarray}$ helfen...
22.06.2023, 16:32	Hann04	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja, NB steht für negative Binomialverteilung. GGZ funktioniert laut Definition nur bei iid-Modellen. Ich weiß dass die Summe von iid ZVn immer noch iid sind, aber ist das beim Produkt auch der Fall? Falls ja, dann ist b doch wieder das Produkt der Erwartungswerte. Danke!

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