Grenzwertübergang einer Brachystochrone

17.07.2023, 10:39	TheWind5urfer	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertübergang einer Brachystochrone Meine Frage: Guten Tag, ich schreibe derzeit meine Masterarbeit in Mathematik (Lehramt aber Fachwissenschaft) zur Brachystochrone, d.h. der schnellste Weg zwischen zwei Punkten, wenn Punkt B (nicht senkrecht) unter Punkt $\begin{eqnarray} A(0\|0) \end{eqnarray}$ im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ liegt und eine in Punkt A ruhende Kugel durch g beschleunigt Richtung Punkt B losrollt (Reibung vernachlässigt). Das ganze wird durch die Zeit parametrisiert. Modelliert man dieses Problem, bekommt man folgenden Kandidaten für die geringste Zeit: $\begin{eqnarray} <br /> T[y]=F(x,y(x),y'(x))=F(y(x),y'(x))=\tfrac{1}{\sqrt{2g}}\int_{0}^{x_{b}}\tfrac{\sqrt{1+(y'(x))^2}}{\sqrt{y(x)}}dx \overset{!}{=}min<br /> \end{eqnarray}$ Dabei beischreibt $\begin{eqnarray} T[y] \end{eqnarray}$ ein Funktional, was es zu minimieren gibt. Mein Problem liegt jetzt aber im Grenzübergang zum Integral. Ich hatte mein Intervall $\begin{eqnarray} [0,x_{b}] \end{eqnarray}$ in Teilintervalle unterteilt, um es dann mithilfe der Riemannsumme zu integrieren. Dabei macht aber die Betrachtung in $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ Probleme, da der Grenzwert dort $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ist. Wir haben also ein uneigentliches Integral. Jetzt mein Problem. Ich weiß absolut nicht mehr, wie ich den Grenzwert $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{s \to 0} \int_{s}^{x_{b}} \! \tfrac{\sqrt{1-(y'(x))^2} }{\sqrt{y(x)}} \, dx <br /> \end{eqnarray}$ zeigen soll. Ich bin mir leider überhaupt unsicher, wie ich da rangehen soll. Deswegen würde ich mich sehr über Ideen freuen, wie ich so etwas machen kann. Bei Fragen antworte ich natürlich gerne. Ich hoffe, ich habe soweit erstmal nichts vergessen. Meine Ideen: Wie gesagt, die Ideen sind bisher rar, sie oben.

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