Grenzwertaufgabe

17.07.2023, 19:35

Samsara

Grenzwertaufgabe

Sei $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass f: $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}--> \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit f(x):= { $\begin{eqnarray*} sin \frac{1}{x}, \end{eqnarray*}$ falls x $\begin{eqnarray*} \neq0 \end{eqnarray*}$ c, falls x=0

in 0 weder einen rechtsseitigen noch einen linksseitigen Grenzwert bezitzt(Insbesondere besitzt also f in 0 keinen Grenzwert.

ML. Die Folge $\begin{eqnarray*} (x_{k}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_{k} \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} \frac{2}{(2k+1) \pi} \end{eqnarray*}$ ist eine Nullfolge mit positiven Gliedern, für die aber die Bildfolge $\begin{eqnarray*} \big(f_{|0, \infty|} \big(x_{k} \big)) \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} f|_{|0, \infty|} \big(x_{k} \big) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} sin \frac{1}{x_{k}}=sin \big((k+ \frac{1}{2} \big) \pi \big)^{k}= \big(-1 \big)^{k} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Für mich ist erstmal unklar, woher die Nullfolge $\begin{eqnarray*} x_{k}:= \frac{2}{(2k+1) \pi} \end{eqnarray*}$ . Mir ist einfach nicht klar, wie diese Nullfolge hergeleitet wird und bei dem, was alles nach der Bildfolge kommt, habe ich bis jetzt auch Verständigungsprobleme. Ich habe also im Moment leider keine eigenen Ideen

17.07.2023, 20:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von Samsara
Für mich ist erstmal unklar, woher die Nullfolge $\begin{eqnarray*} x_{k}:= \frac{2}{(2k+1) \pi} \end{eqnarray*}$

... kommt?

Das Ziel bestimmt den Weg: Es wurde eine Folge konstruiert, wo die zugehörigen Funktionswerte zwischen -1 und +1 alternieren. Und das wird eben für Sinus-Argumente $\begin{eqnarray*} \left(k+\frac{1}{2}\right)\pi \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,1,2,\ldots \end{eqnarray*}$ erreicht. Da andererseits in der vorliegenden Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ das Sinus-Argument $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist, erfüllt eben die Folge $\begin{eqnarray*} \left(x_k\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x_k}= \left(k+\frac{1}{2}\right)\pi \end{eqnarray*}$ diese Idee, das ergibt umgestellt $\begin{eqnarray*} x_k= \frac{2}{(2k+1)\pi} \end{eqnarray*}$ . Und dass das eine Nullfolge ist, nun das solltest du aber wirklich selbst erkennen.

17.07.2023, 20:37

Samsara

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Klar ist mir jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x_{k}}= \big( \frac{2k+1}{2} \big) \pi \end{eqnarray*}$ . wie ich jetzt zu $\begin{eqnarray*} x_{k}= \frac{2}{(2k+1) \pi} \end{eqnarray*}$ ist mir noch nicht klar.

17.07.2023, 20:43

Samsara

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oder ist das jetzt einfach der Kehrwert. Mir ist grade so was eingefallen, ich hoffe es stimmt.

17.07.2023, 20:43

Leopold

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Ohne den ganzen Strang verfolgt zu haben, beziehe ich mich nur auf deinen letzten Beitrag und erkenne hier schlicht die Kehrwertbildung auf beiden Seiten:

$\begin{align*} \frac{A}{B} = \frac{C}{D} \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{B}{A} = \frac{D}{C} \end{align*}$

Vielleicht irritiert dich die Stellung von $\begin{align*} \pi \end{align*}$ ? Wo steht es zuvor? Wo steht es danach?

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