Komplexe Zahlen (e-Funktion)

18.08.2023, 22:24	N.Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen (e-Funktion) Meine Frage: Hallo Kann jemand mir bitte mit den folgenden Komplexen Zahlen helfen. Ich muss das Argument und der Betrag von folgenden komplexe Zahlen (Polarkoordinaten) rausfinden, aber ich kriege es nicht hin 1) e^pi 2) e^((pi/3)i) 3) e^(-2-((3pi)/2)i) Meine Ideen:* bei der 2.) ist nicht schwer denke ich. Ich habe da für das Argument = pi/3 = 60° und für den Betrag 1 aber der Rest kriege ich nicht hin
18.08.2023, 22:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} \operatorname{e}^{\pi} = 23{,}14 \ldots \end{align}$ ist eine reelle Zahl. Was ist folglich ihr Argument?
18.08.2023, 22:31	N.Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Argument einer komplexen Zahl ist die Richtung der Zahl vom Nullpunkt aus bzw. der Winkel zur Real-Achse. Ja das ist das Problem also ich dachte erst vielleicht ist die Winkel null weil z = e^pi ist genau wie z = e^pi * e^(0*i)
18.08.2023, 22:38	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und deshalb hat $\begin{align} \operatorname{e}^{\pi} \end{align}$ das Argument 0. Die komplexe Zahl $\begin{align} z = \operatorname{e}^{s + \operatorname{i}t} = \operatorname{e}^s \cdot \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} \end{align}$ mit $\begin{align} s,t \in \mathbb{R} \end{align}$ hat den Betrag $\begin{align} r = \operatorname{e}^s \end{align}$ und das Argument $\begin{align} t \end{align}$ . Das Argument ist dabei nur modulo $\begin{align} 2 \pi \end{align}$ eindeutig bestimmt. (Möglicherweise habt ihr für das Argument einen festen Bereich festgelegt, zum Beispiel das Intervall $\begin{align} [0,2\pi) \end{align}$ oder das Intervall $\begin{align} (-\pi,\pi] \end{align}$ . Dann mußt du dich gegebenenfalls an diese Festlegung halten.)
18.08.2023, 22:40	N.Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja wir haben als Intervall [0,2À) Und was mit aufgabe 3) ?
18.08.2023, 22:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bringe das auf die Form $\begin{align} \operatorname{e}^{s + \operatorname{i}t} \end{align}$ mit $\begin{align} t \in [0,2\pi) \end{align}$ , wie ich das in meinem vorigen Beitrag beschrieben habe, und lies $\begin{align} t \end{align}$ ab. Das ist alles.
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18.08.2023, 22:51	N.Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
also -3pi/2 ja ?
18.08.2023, 22:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Jein. Ich wäre damit zufrieden, dein Lehrer ist es aber vermutlich nicht, weil ihr für das Argument nach deinen eigenen Angaben ein gewisses Intervall festgelegt habt.
18.08.2023, 22:55	N.Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was soll ich dann tun ?
18.08.2023, 22:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
So lange $\begin{align} 2 \pi \end{align}$ addieren oder subtrahieren, bis du ins passende Intervall kommst.
18.08.2023, 23:01	N.Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ok perfekt, danke

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