Stetigkeit abschnittsweiser definierter Funktionen

19.08.2023, 16:47

sternburg_export

Stetigkeit abschnittsweiser definierter Funktionen

Meine Frage:
Seien $f, g$ stetige Funktionen, sei $x_0$ in $\mathbb{R}$ und sei $h$ definiert als $f(x)$, falls $x \leq x_0$ und g(x) sonst. Es gilt zu zeigen, dass $h(x)$ stetig ist, genau dann, wenn $f(x_0) = g(x_0)$.

Meine Ideen:
Logischerweise ist die Funktion $h$ in allen Stellen außer $x_0$ stetig, da sowohl $f$ als auch $g$ stetige Funktionen sind. Es verbleibt die Stetigkeit im Punkt $x_0$ zu zeigen. Das ganze soll per Epsilon-Delta-Kriterium geschehen - es muss also für alle Epsilon aus $\mathbb{R}_+$ ein $\delta \in \mathbb{R}_+$ existieren, so dass für für alle $x$ mit $|x - x_0| \leq \delta$ gilt, dass $|h(x) - h(x_0)| \leq \varepsilon$. Weiterhin kann man direkt für $h(x_0)$ $f$ einsetzen und für die Belegung von $h(x)$ macht es nur Sinn, einen Wert aus $g(x)$ zu verwenden. Leider weiß ich nun nicht so ganz weiter... Über Hilfe freue ich mich sehr smile

19.08.2023, 17:00

HAL 9000

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Wenn ich es richtig verstehe, dann bereitet dir speziell der Beweisteil "Wenn $\begin{eqnarray*} f(x_0)\neq g(x_0) \end{eqnarray*}$ gilt, dann ist $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ unstetig" Probleme, oder?

19.08.2023, 17:29

sternburg_export

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Das sollte auch gehen, jedoch wäre es mir lieber nicht die Kontraposition zu betrachten und das ganze per Epislon-Delta-Kriterium zu zeigen. das sollte ja auch möglich sein...! smile

19.08.2023, 17:55

HAL 9000

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Ok, du willst DIREKT aus " $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ stetig" auf $\begin{eqnarray*} f\left(x_0\right) = g\left(x_0\right) \end{eqnarray*}$ schließen, oder? Na vielleicht so: Für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ gibt es

a) der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ wegen ein $\begin{eqnarray*} \delta_1>0 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \left| h\left(x\right)-h\left(x_0\right)\right| = \left| g\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x_0 < x < x_0+\delta_1 \end{eqnarray*}$ , und

b) der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ wegen ein $\begin{eqnarray*} \delta_2>0 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \left| g\left(x\right)-g\left(x_0\right)\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x_0 < x < x_0+\delta_2 \end{eqnarray*}$ .

Damit folgt mit $\begin{eqnarray*} \delta:=\min\left(\delta_1,\delta_2\right) \end{eqnarray*}$ sowie Dreiecksungleichung für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_0 < x < x_0+\delta \end{eqnarray*}$ die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \left| g\left(x_0\right)-f\left(x_0\right)\right| \leq \left| g\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right| + \left| g\left(x_0\right)-g\left(x\right)\right| < 2\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Da diese Betrachtung für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ möglich ist, folgt $\begin{eqnarray*} \left| g\left(x_0\right)-f\left(x_0\right)\right| = 0 \end{eqnarray*}$ .

19.08.2023, 18:06

sternburg_export

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Wenn du jetzt noch die Rückrichtung hättest (also wenn f(x_0) gleich g(x_0) dann ist h stetig) hast du meinen Abend gerettet smile

Vielen lieben Dank dir für deine HIlfe

19.08.2023, 18:16

HAL 9000

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Ich hatte gemeint, das kriegst du allein hin - zumindest hatte dies hier

Zitat:

Original von sternburg_export
Weiterhin kann man direkt für $h(x_0)$ $f$ einsetzen und für die Belegung von $h(x)$ macht es nur Sinn, einen Wert aus $g(x)$ zu verwenden.

darauf hingedeutet. Streng dich mal an!

19.08.2023, 18:34

sternburg_export

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Sieht die Lösung wie folgt aus:
f und g sind beide stetig in x_0, folglich existiert für beide ein delta_f bzw. delta_g.
sei im folgenden r = f(x_0) = g(x_0)

Wenn wir nun delta_h als das minimum der beiden wählen (sei obda delta_f kleiner als delta_g), dann gilt:
1. falls |h(x) - r| = |f(x) - r|, dann gilt nach |x - x_0| < delta_f, dass h(x) hier stetig ist, da f stetig ist
2. falls |h(x) - r| = |g(x) - r|, dann gilt nach |x - x_0| < delta_f < delta_g, dass h(x) hier stetig ist, da g hier stetig ist?

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