Berechnung eines Grenzwertes

21.08.2023, 19:55

Samsara

Berechnung eines Grenzwertes

Folgende Aufgabe $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x \frac{(n+3)(2n^{2}-1)}{4n^{3}+3n+2} \end{eqnarray*}$ . Ich komme jetzt lediglich vom probieren auf 0,5, und das könnte ich jetzt nur waage durch die $\begin{eqnarray*} 2n^{2} \end{eqnarray*}$ im Zähler und die $\begin{eqnarray*} 4n^{3} \end{eqnarray*}$ im Nenner vermuten. Das könnte ja stimmen, aber ob das die richtige oder eleganteste Methode ist, weiß ich nicht.

21.08.2023, 20:00

Elvis

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$\begin{eqnarray*} lim_{n\to \infty} x\frac {2n^3+...}{4n^3+...}=x\times \frac 2 3 \end{eqnarray*}$

Kleine Potenzen von n spielen dann keine Rolle mehr, wenn man den Bruch durch $\begin{eqnarray*} n^3 \end{eqnarray*}$ kürzt, bleibt nichts mehr übrig.

21.08.2023, 20:27

Samsara

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Ich muss allerdings zu meiner Schande gestehen, dass mir jetzt nicht klar ist, wie du dass entsprechend umformst, damit durch $\begin{eqnarray*} n^{3} \end{eqnarray*}$ gekürzt werden kann. Was ich jetzt leider auch nicht verstehe, dass ist $\begin{eqnarray*} = x * \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$ . Ich hoffe, dass ich das so richtig gesehen habe.

21.08.2023, 20:36

Leopold

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Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} lim_{n\to \infty} x\frac {\color{blue} 2 \color{black}n^3+...}{\color{blue} 4 \color{black}n^3+...}=x\times \frac{\color{red} 2}{\color{red} 3} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Samsara
dass ist $\begin{eqnarray*} = x * \frac{\color{green} 2}{\color{green} x} \end{eqnarray*}$ .

Das Ganze hat schon etwas von absurdem Theater. Leider kann ich hier nicht weitermachen. Es klingelt gerade. Godot ist da.

21.08.2023, 20:44

Elvis

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Tippfehler. 2/4=1/2, nicht 2/3 Hammer

21.08.2023, 20:48

Samsara

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Keine Ahnung, was daran jetzt so absurd sein soll und weshalb das jetzt warten auf "Nichts" sein soll. Ich kenne dass Stück mit Heinz Rühmann.

21.08.2023, 21:03

Samsara

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Ich kann damit zwar jetzt nichts mit anfangen, aber was solls. Bis vielleicht zum nächsten mal.

21.08.2023, 21:23

URL

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Gehört das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ da wirklich hin?
Wie auch immer, die Faustegel ist: Höchste vorkommende Potenzen ausklammern
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+3)(2n^{2}-1)}{4n^{3}+3n+2} = \frac{n(1+3/n)\ n^2(2-1/n^2)}{n^3(4+3/n^2+2/n^3)}= \frac{(1+3/n)(2-1/n^2)}{(4+3/n^2+2/n^3)} \end{eqnarray*}$

21.08.2023, 21:27

Elvis

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$\begin{eqnarray*} x\frac {2n^3 +3n^2 - n-3}{4n^3 +3n+2}=x\frac {n^3(2+\frac 3 n-\frac 1{n^2} - \frac 3{n^3})} {n^3 (4+\frac 3{n^2} +\frac 2{n^3})} \end{eqnarray*}$
Das geht, weil für große n nicht durch 0 dividiert wird. Jetzt kann ich den Bruch durch $\begin{eqnarray*} n^3 \end{eqnarray*}$ kürzen, die negativen Potenzen von n gehen für n gegen unendlich gegen 0, also bleibt als Grenzwert $\begin{eqnarray*} x\cdot \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ . Der Grenzwert einer Summe ist die Summe der Grenzwerte, der Grenzwert eines Quotienten ist der Quotient der Grenzwerte, wenn alle Grenzwerte existieren und der Nenner nicht 0 ist.

22.08.2023, 08:13

Leopold

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Zitat:

Original von Samsara
Keine Ahnung, was daran jetzt so absurd sein soll

Soll ich's wirklich erklären?

Da verschreibt sich Elvis und macht aus einem richtigen 1/2 ein falsches 2/3. Kann passieren. Du verstehst das Ergebnis nicht. Statt nun selbst zu überlegen, wie das gelaufen ist, oder, wenn du es nicht herauskriegst, nachzufragen, wo die Zahlen herkommen, schreibst du das falsche Ergebnis noch einmal falsch ab und machst daraus 2/x.

Wenn das mal nicht absurd ist...

Als ich übrigens gestern meine Tür geöffnet hatte, stand niemand da. Habe ich mir das Klingeln nur eingebildet? Vielleicht kommt Godot ja morgen.

23.08.2023, 15:59

mYthos

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Zitat:

Original von URL
Gehört das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ da wirklich hin?
...

Ganz sicher nicht. Die Grenzwertberechnung für n kann man - wenn das x dort unbedingt stehen muss - gänzlich von x abkoppeln.
____________

Über den nicht immer sachlichen Verlauf des Threads bin ich einigermaßen verwundert.

mY+

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