Basis von Vektorräumen

14.09.2023, 18:21	Parkhilfe	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis von Vektorräumen Meine Frage: a) Gib alle Teilmengen der vier für U1 aufgelisteten Vektoren an, die Basen von U1 bilden. Ergänze eine dieser Teilmengen zu einer Basis des R^3. (U1 und U2 siehe Bild) Hier wäre meine Frage ob die Lösungen so korrekt sind, und ob es ein richtiges Vorgehen gibt die Teilmengen zu einer Basis des R^3 zu machen?! b) Bestimme die Dimension von U1, U2, U1?U2 sowie U1+U2 := {u1+u2 \|u1 ?U1,u2 ?U2}. Auch hier würde ich gerne wissen ob die Lösungen so korrekt sind, außerdem hätte ich gerne einen Tipp für die letzte Teilaufgabe der b ich versteh irgendwie nicht wie die Menge der Addition der beiden Unterräume aussieht (bitte keine Lösung nur Tipp) Meine Ideen: Siehe Bild
14.09.2023, 19:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr viele Details, da ist wieder die Kenntnis von Definitionen und etwas Fleiß gefragt. Erst mal ein Tipp: Die Summe von Untervektorräumen ist ein Untervektorraum. Sonst würde die Frage nach der Dimension keinen Sinn ergeben.
14.09.2023, 20:52	Parkhilfe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hei, erstmal danke für die Antwort, ich versteh auch was du meinst mit der Summe, ich möchte auch nicht dass hier jemand irgendwelche Lösungen für mich ausrechnet! Was ich gerne wissen würde ist, ob es eine Methode gibt die Teilmengen für ein R^3 zu erweitern ohne "zu raten".
14.09.2023, 20:54	Parkhilfe	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur bei der b) bräuchte ich jemand der mir über die Schulter schaut weil ich hier wirklich nicht sicher bin ob man das so machen kann, außerdem wäre eine kleine Gedanken stütze für die letzte Teilaufgabe dort sehr hilfreich
14.09.2023, 22:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den Anfänger hilft nur raten und probieren und rechnen - auf Grundlage von Definitionen und logischem Denken. Als Übung in Sachen Grundlagen und Grundbegriffe ist das sinnvoll und nützlich. Für fortgeschrittene Studierende der linearen Algebra gibt es Matrizen und Dimensionssaetze. Die wichtigsten Sätze der Algebra und auch der linearen Algebra sind Homomorphiesatz und Isomorphiesaetze. Übungsaufgaben soll man so gut bearbeiten, wie man kann. Über jeden Teilerfolg darf man sich freuen, weil man etwas gelernt hat und etwas kann. Was man noch nicht kann, soll als Ansporn dienen, mehr zu arbeiten und als Motivation, neue Begriffe, Methoden und Hilfsmittel zu studieren und zu erlernen. Wenn andere für dich arbeiten, hast du keinen Erfolg und nichts gelernt.
15.09.2023, 07:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
zu a) Ein Vektor muss in eine "Richtung" "zeigen". Das wird vielleicht in der Schule so gelehrt und gelernt. Ich glaube nicht, dass man in der linearen Algebra so spricht. Du solltest dich sehr schnell an die Fachbegriffe gewöhnen und sie konsequent benutzen. In der Definition einer Basis treten die Begriffe linear unabhängig, Erzeugendensystem, minimal, maximal auf. Daraus wird der Begriff Dimension abgeleitet. Von Richtung und Länge wird bei Vektoren im allgemeinen nicht mehr gesprochen. zu b) Ebenen und Geraden gehören in die Geometrie und nicht in die lineare Algebra (auch wenn hier im Beispiel der reelle dreidimensionale Raum und seine Unterräume auch als geometrische Gebilde aufgefasst werden können). Im 3-dim VR können 2 2-dim UVRe nicht linear unabhängig sein. Das weißt du im Prinzip auch, denn der Durschnitt ist 1-dim. Aus der Geometrie weißt du, dass der Durschnitt von 2 Ebenen in allgemeiner Lage eine Gerade und die Summe von 2 Ebenen in allgemeiner Lage der 3-dim Raum ist. Das musst du nur noch in der richtigen Sprache formulieren und begründen. Deine Antworten sind nicht unbedingt falsch aber du musst etwas sauberer sprechen.
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