Erwartungswert Gewinn Kartenspiel

15.09.2023, 10:48

Tom34

Erwartungswert Gewinn Kartenspiel

Meine Frage:
Aus einem Kartenspiel zieht man nacheinander alle Karten. Vor jedem Zug kann man jeden beliebigen Betrag (maximal aktuelles Guthaben) darauf verwetten, dass die nächste Karte schwarz oder rot ist. Liegt man richtig, bekommt man das doppelte des Einsatzes zurück, sonst verliert man den Einsatz. Man berechne den erwarteten maximalen Profit, wenn man mit 1 Euro startet.

Meine Ideen:
Verwendet werden soll hier das Kelly Kriterium. Ist $\begin{eqnarray*} r>s \end{eqnarray*}$ so besagt das Kriterium, dass man $\begin{eqnarray*} p=\frac{r-s}{r+s} \end{eqnarray*}$ seines momentanen Guthaben verwettet.
Außerdem denke ich könnte es hilfreich sein, dass falls man (es gilt immer noch $\begin{eqnarray*} r>s \end{eqnarray*}$ ) in einer Runde richtig liegt, sein Guthaben mit $\begin{eqnarray*} p=\frac{2r}{r+s} \end{eqnarray*}$ multipliziert, liegt man falsch, so multipliziert man es mit $\begin{eqnarray*} p=\frac{2s}{r+s} \end{eqnarray*}$
Wie kann ich damit nun den erwarteten Gewinn berechnen?
Ich habe auch eine Computersimulation gemacht, bei der jedes mal der feste Wert $\begin{eqnarray*} \approx 9.0813 \end{eqnarray*}$ herauskommt. Es kommt mir zu komisch vor, dass es keine Schwankungen im Wert gibt, aber ich bin mir eigentlich relativ sicher, dass das Programm kein Fehler enthält.

15.09.2023, 12:46

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Tom34
Ich habe auch eine Computersimulation gemacht, bei der jedes mal der feste Wert $\begin{eqnarray*} \approx 9.0813 \end{eqnarray*}$ herauskommt.

Du hast vergessen zu erwähnen, dass du mit $\begin{eqnarray*} r=s=26 \end{eqnarray*}$ startest... Der Ergebniswert ist gleich $\begin{eqnarray*} \frac{52!!^2}{52!} = \frac{2^{52}\cdot 26!^2}{52!}\approx 9.0813 \end{eqnarray*}$ , und tatsächlich unabhängig vom Spielverlauf - Begründung:

Liegen noch genau $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Ziehungsschritte vor einem, dann wird mit $\begin{eqnarray*} \frac{2m}{n} \end{eqnarray*}$ multipliziert, wobei $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ gerade die Anzahl Restkarten derjenigen Farbe ist, die man gerade zieht. Nun kommt aber jede der Karten genau einmal dran, d.h. sowohl für rot als auch schwarz durchläuft $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ die Zahlen 26,25,...,1, und es ist nacheinander n=52,51,...,1 .

Allgemein bekommt man beim Start mit $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ roten und $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ schwarzen Karten den fixen Endwert $\begin{eqnarray*} \frac{2^{r+s}\cdot r!\cdot s!}{(r+s)!} \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} r=s \end{eqnarray*}$ bekommt man für große $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ dafür den Näherungswert $\begin{eqnarray*} \sqrt{\pi \left(r+\frac{1}{4}\right)} \end{eqnarray*}$ , der auch schon für $\begin{eqnarray*} r=26 \end{eqnarray*}$ eine ganz passable Näherung liefert.

15.09.2023, 14:36

Tom34

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, das ist wesentlich eleganter als alles, was ich probiert habe. Die Näherungslösung habe ich versucht nachzurechnen mit $\begin{eqnarray*} n!\approx \sqrt{2\pi n}\cdot(\frac{n}{e})^{n} \end{eqnarray*}$ komme ich auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{\pi r} \end{eqnarray*}$ . Wie hast du die 1/4 noch mit dazugemogelt?

15.09.2023, 14:44

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Stirlingsche Näherungsformel für Fakultät lässt sich im Rahmen des Konzepts Euler-Maclaurin-Formel noch um ein paar Glieder ergänzen (soviel man möchte), der nächste Schritt ist da

$\begin{eqnarray*} n! = \sqrt{2\pi n}\cdot n^n \cdot \exp\left(-n + \frac{1}{12n} + O\left(\frac{1}{n^3}\right) \right) \end{eqnarray*}$ .

Genau darauf beruht die Formel. In dem Sinne wäre wohl $\begin{eqnarray*} \sqrt{\pi r}\cdot e^{\frac{1}{8r}} \end{eqnarray*}$ zwar noch genauer gewesen, aber leider nicht mehr so einfach strukturiert.

Neue Frage »

Antworten »

Erwartungswert Gewinn Kartenspiel

Verwandte Themen