Erwartungswert und Varianz einer Summe von ZV

16.09.2023, 23:38	Zanji	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert und Varianz einer Summe von ZV Hallo, Ich habe folgende Aufgabe gegeben: Gegeben ist eine Folge $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ von unabhängigen Zufallsvariable welche alle den endlichen Erwartungswert $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und die endliche Varianz $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ haben. Weiter sein T eine von $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ unabhängige Zufallsvariable mit Werten in $\begin{eqnarray} \Bbb{N} \end{eqnarray}$ T hat ebenfalls endl. Erwartung und Varianz. Ich soll nun folgendes berechnen $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(\sum_{i=1}^T X_i) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Var(\sum_{i=1}^T X_i) \end{eqnarray}$ Wäre T keine ZV wäre die Aufgabe ja sehr banal, da ich aber keine Idee habe, wie ich mit dem T verfahren soll suche ich Denkanreize! DAnke!
17.09.2023, 09:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Berechnung gelingt über den Zwischenschritt $\begin{eqnarray} \mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^T X_i\right) = \mathbb{E}\left(\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^T X_i \mid T\right)\right) \end{eqnarray}$ , ausführlich: $\begin{eqnarray} \mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^T X_i\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^T X_i \mid T=n\right)\cdot \mathbb{P}\left(T=n\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^n X_i \mid T=n\right)\cdot \mathbb{P}\left(T=n\right) \end{eqnarray}$ , Aufgrund der Unabhängiggkeit von $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ zu den $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ folgt daraus weiter $\begin{eqnarray} \mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^T X_i\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)\cdot \mathbb{P}\left(T=n\right) \end{eqnarray}$ . Damit solltest du weiter kommen. Bei der Varianz ist es ein wenig komplizierter, dort geht man über den Zwischenschritt $\begin{eqnarray} \mathbb{V}(Y) = \mathbb{E}\left(Y^2\right) - \left(\mathbb{E}\left(Y\right)\right)^2 \end{eqnarray}$ .

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