Erwartungswert Würfel

28.09.2023, 11:40

Matheeinhorn314

Erwartungswert Würfel

Meine Frage:
Man werfe einen handelsüblichen Würfel und notiere die Augenzahlen. Wie oft muss man den Würfel im Durchschnitt werfen, um zwei Augenzahlen in der Liste zu erhalten, deren Differenz 2 beträgt.

Meine Ideen:
Weiß nicht wie hier vorzugehen ist

28.09.2023, 12:31

HAL 9000

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Gemeint ist wirklich "insgesamt in der Liste", d.h., nicht die schärfere Forderung, dass diese beiden auch hintereinander gewürfelt werden?

Ja, klingt erstmal ganz sportlich, da muss man schon eine Weile drüber nachdenken.

28.09.2023, 13:09

Matheeinhorn314

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Die Aufgabe die du genannt hast kann man ja relativ einfach mit einem Gleichungssystem lösen (ich komme auf $\begin{eqnarray*} \frac{17}{3} \end{eqnarray*}$ ). Bei meiner Variante gibt es aber so viele Fälle, da wusste ich nicht, ob es per Hand berechenbar ist oder ob man hier auf eine Simulation zurückgreifen muss.

28.09.2023, 13:24

HAL 9000

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Gut, sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Position, wo man erstmals in der Menge der bis dahin gewürfelten Augenzahlen diese Bedingung erfüllt hat.

Betrachten wir nun die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} q_n:=P(X>n) \end{eqnarray*}$ dafür, dass bis einschließlich Position $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ diese Bedingung noch nicht erfüllt ist. Mit Hilfe der Ereignisse

$\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ ... Augenzahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ taucht in den Würfen $\begin{eqnarray*} 1\ldots n \end{eqnarray*}$ mindestens einmal auf.

kann man das so formulieren

$\begin{eqnarray*} q_n = 1-P\left((A_1\cap A_3)\cup (A_2\cap A_4)\cup (A_3\cap A_5)\cup (A_4\cap A_6)\right) \end{eqnarray*}$

mit Ergebnis (nach einiger Siebformel-Rechnerei) $\begin{eqnarray*} q_n = \frac{4^n + 2\cdot 3^n - 2^n - 2}{6^n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n>0 \end{eqnarray*}$ . Der gesuchte Erwartungswert ist (inklusive $\begin{eqnarray*} q_0=1 \end{eqnarray*}$ ) dann $\begin{eqnarray*} E(X) = \sum_{n=0}^{\infty} q_n = 4.1 \end{eqnarray*}$ .

Kannst gern mal eine Simulation anwerfen, die diesen theoretischen Wert bestätigt - oder auch nicht.

28.09.2023, 14:02

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von HAL 9000
Kannst gern mal eine Simulation anwerfen, die diesen theoretischen Wert bestätigt - oder auch nicht.

Hab ich interessehalber mal gemacht. Im Bild ist der Durchschnitt über der Zahl der Versuche dargestellt, letztere geht bis 5000.

[attach]57298[/attach]

Schon ab etwa 1000 Versuchen ist zu sehen, dass es auf 4,1 hinausläuft.

Viele Grüße
Steffen

28.09.2023, 15:48

HAL 9000

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Immer wieder schön, wenn das Simulationsergebnis im Einklang mit der Theorie steht. Mag zwar gelegentlich auch vorkommen, dass beide denselben systematischen Fehler aufweisen, ist aber eher selten. Augenzwinkern

28.09.2023, 18:42

willyengland

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Sieht aus wie ein FID beim NMR. Freude

28.09.2023, 19:58

Matheeinhorn314

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Danke HAL 9000 für die Hilfe. Ich habe jetzt ca 4h lang probiert deinen Weg nachzuvollziehen und komme letztendlich auch auf das gleiche Ergebnis. Wie du das in der kurzen Zeit gelöst hast mit den ganzen Rechnungen bei der Siebformel ist mir allerdings ein Rätsel. Du musst ja ein absolutes Mathemonster sein...

28.09.2023, 20:04

HAL 9000

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Sagen wir's mal so: Ohne CAS-Unterstützung bei der Zusammenfassung einiger Terme hätte es etwas länger gedauert, vielleicht auch mehr als "etwas". Augenzwinkern

Das Kompliment kann ich übrigens zurückgeben: Deine $\begin{eqnarray*} \frac{17}{3} \end{eqnarray*}$ von der anderen Interpretation kamen auch ganz schön schnell zurück. Ich würde mir da vermutlich erstmal eine passende Markov-Kette basteln - kurzum, wohl etwas umständlicher als nötig.

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