Grenzwertfunktion für Exponentialfunktion umformen

04.10.2023, 09:35

Kognitivist

Grenzwertfunktion für Exponentialfunktion umformen

Meine Frage:
Handbook of Mathematical Psychology, p. 339:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \ \frac{e^{\beta t} - e^{-\lambda t} }{1 - e^{-\lambda t} } = 1 + \frac{\beta }{\lambda } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Im Text steht, dass die Umformung "is easily done by expanding the numerator and denominator" auf der linken Seite der Gleichung. Also Zähler und Nenner erweitern - aber um was? Um einen Wert natürlich, der insgesamt 1 ergibt, sonst dürfte ich Zähler und Nenner nicht erweitern.

Weitere Ideen: Gebrauch machen von $\begin{eqnarray*} \frac{1 - e^{-\lambda t} }{e^{-\lambda t} } = e^{\lambda t} - 1 \end{eqnarray*}$ .

Die Potenzreihenbildung der exponentialfunktion wäre
$\begin{eqnarray*} \frac{\beta t}{1!} + \frac{\beta t^{2} }{2!} + \frac{\beta t^{3} }{3!} +... - \frac{- \lambda t}{1!} - \frac{-\lambda t^{2} }{2!} - \frac{-\lambda t^{3} }{3!} ... \end{eqnarray*}$ , hilft aber auch nicht wirklich weiter.

Na ja, unter Nutzung der Potenzreihenbildung ergäbe sich der Zusammenhang
$\begin{eqnarray*} \frac{e^{\beta t + \lambda t} }{1- e^{-\lambda t} } = \frac{e^{\beta t} e^{\lambda t} }{1 - e^{-\lambda t} } \end{eqnarray*}$ - hilft das weiter?

04.10.2023, 09:44

IfindU

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RE: Grenzwertfunktion für Exponentialfunktion umformen
Ich denke das einfachste ist
$\begin{eqnarray*} \frac{e^{\beta t} - e^{-\lambda t} }{1 - e^{-\lambda t} } = \frac{e^{\beta t} - 1 }{1 - e^{-\lambda t} } + \frac{1 - e^{-\lambda t} }{1 - e^{-\lambda t} } \end{eqnarray*}$ . Der letzte Term liefert die 1.
Beim zweiten kann schreiben $\begin{eqnarray*} \frac{e^{\beta t} - 1 }{1 - e^{-\lambda t} } = \frac{\frac{e^{\beta t} - 1}t }{\frac{1 - e^{-\lambda t}}t } \end{eqnarray*}$ , wobei nun Zähler und Nenner konvergieren.

Edit: Zuerst mit $\begin{eqnarray*} e^{\lambda t} \end{eqnarray*}$ und dann einfach L'Hospital könnte einfacher sein. Viele Wege führen nach Rom Augenzwinkern

04.10.2023, 09:52

Kognitivist

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RE: Grenzwertfunktion für Exponentialfunktion umformen
Sieht elegant aus.

Aber was meinst Du mit "Zähler und Nenner konvergieren"? Weil t gegen 0 geht vereinfacht sich der Term auf
$\begin{eqnarray*} \frac{\beta }{\lambda } \end{eqnarray*}$ ?

Ich seh's noch nicht ganz. Die 1 geht natürlich klar.

04.10.2023, 10:07

IfindU

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RE: Grenzwertfunktion für Exponentialfunktion umformen
Definieren wir $\begin{eqnarray*} g_\beta(x) = e^{\beta x} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{e^{\beta t} - 1}t = \frac { g_\beta(t) - g_\beta(0) } {t - 0} \end{eqnarray*}$ und, da $\begin{eqnarray*} g_\beta \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist, ist $\begin{eqnarray*} \frac { g_\beta(t) - g_\beta(0) } {t - 0} \to g'_\beta(0) \end{eqnarray*}$ .

04.10.2023, 11:15

Kognitivist

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RE: Grenzwertfunktion für Exponentialfunktion umformen
Ich steh völlig auf der Leitung -
ich sehe nicht was mir es bringt jetzt zu differenzieren/abzuleiten.....

die Ableitung einer Exponentialfunktion bleibt ja die Exponentialfunktion,
und ich möchte dass "e" verschwindet, und ich sehe nicht wie ich das durch die Ableitung erreiche.

Du machst jetzt offenbar L'Hospital. Können wir es auf die andere Weise probieren - der Ansatz
mit Zähler und Nenner die konvergieren erscheint mir hilfreicher.....

04.10.2023, 11:21

Kognitivist

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RE: Grenzwertfunktion für Exponentialfunktion umformen
Also haben wir dann unter Grenzwertbestimmung über L'Hospital

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{\beta } }{e^{-\lambda } } \end{eqnarray*}$ ,

und das reduziert sich auf

$\begin{eqnarray*} \frac{\beta }{\lambda } \end{eqnarray*}$ ?

04.10.2023, 11:38

IfindU

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RE: Grenzwertfunktion für Exponentialfunktion umformen

Zitat:

Original von Kognitivist
$\begin{eqnarray*} \frac{e^{\beta t + \lambda t} }{1- e^{-\lambda t} } = \frac{e^{\beta t} e^{\lambda t} }{1 - e^{-\lambda t} } \end{eqnarray*}$ .

Das ist ja $\begin{eqnarray*} \frac{e^{\beta t} e^{\lambda t} }{1 - e^{-\lambda t} } = \frac{e^{(\beta+\lambda) t} }{1 - e^{-\lambda t} } \end{eqnarray*}$

Wenn wir L'Hospital anwenden, bekommen wir
$\begin{eqnarray*} \lim_{t\to0} \frac{e^{(\beta+\lambda) t} }{1 - e^{-\lambda t} } =\lim_{t\to0} \frac{(\beta+\lambda)e^{(\beta+\lambda) t} }{\lambda e^{-\lambda t} } =\frac{ \beta+\lambda} {\lambda} \lim_{t\to0} \frac{e^{(\beta+\lambda) t} }{e^{-\lambda t} } \end{eqnarray*}$ .

Und hier konvergieren offenbar Zähler und Nenner gegen 1.

05.10.2023, 07:53

Kognitivist

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RE: Grenzwertfunktion für Exponentialfunktion umformen
gelöscht

05.10.2023, 07:57

Kognitivist

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RE: Grenzwertfunktion für Exponentialfunktion umformen
Vergiss meine Antwort von eben,

natürlich ist $\begin{eqnarray*} \frac{\beta + \lambda }{\lambda } = <br /> <br /> 1 + \frac{\beta }{\lambda } \end{eqnarray*}$

wo ich eigentlich hin will.

Problem gelöst, danke!!!

05.10.2023, 08:05

Leopold

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Eigentlich hat das mit der Exponentialfunktion nicht viel zu tun. Mit der Substitution $\begin{align*} x = \operatorname{e}^{\lambda t} \end{align*}$ und $\begin{align*} x \to 1 \end{align*}$ für $\begin{align*} t \to 0 \end{align*}$ entsteht

$\begin{align*} \frac{\operatorname{e}^{\beta t} - \operatorname{e}^{- \lambda t}}{1 - \operatorname{e}^{- \lambda t}} = \frac{x^{1 + \frac{\beta}{\lambda}} - 1}{x - 1} \end{align*}$

Letzteres ist der Differenzenquotient der Funktion $\begin{align*} f(x) = x^{1 + \frac{\beta}{\lambda}} \end{align*}$ an der Stelle 1.

Somit gilt

$\begin{align*} \lim_{t \to 0} \frac{\operatorname{e}^{\beta t} - \operatorname{e}^{- \lambda t}}{1 - \operatorname{e}^{- \lambda t}} = f'(1) = 1 + \frac{\beta}{\lambda} \end{align*}$

Für die Rechnung ist $\begin{align*} \lambda \neq 0 \end{align*}$ vorauszusetzen.

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