Substitution beim Integral

07.10.2023, 22:21	TheWindsurfer	Auf diesen Beitrag antworten »
Substitution beim Integral Meine Frage: Guten Tag, ich habe heute eine Lösung gesehen, mit der man die Durchlaufzeit für die Brachistochrone berechnen kann. Dazu wurde eine Substitution angewandt, welche ich nicht verstehe. Das Ausgangsintegral ist: $\begin{eqnarray} \int_{t_{k}}^{t_{l}} \tfrac{\sqrt{1+(y'(x))^2}}{\sqrt{y(x)}}dx \end{eqnarray}$ Dann wurden folgende Umstellungen zur Substitution genutzt: $\begin{eqnarray} \tfrac{dy}{d \beta}y(\beta)=\tfrac{dy}{d \beta}(R-R\cdot cos (\beta)) = Rsin(\beta) \\<br /> \tfrac{dx}{d \beta} x(\beta)=\tfrac{dx}{d \beta}(R\beta - Rcos(\beta))=R \cdot (1-cos(\beta)) \\<br /> \Rightarrow &y'(x) =\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy}{d \beta} \cdot \tfrac{d \beta}{dx}=\tfrac{Rsin(\beta)}{R\cdot (1-cos(\beta))} \end{eqnarray}$ und man hat als substituiertes Integral erhalten: $\begin{eqnarray} \int_{\beta_{k}}^{\beta_{l}} \sqrt{\tfrac{1+(y'(x))^2}{y(\beta)}}\tfrac{dx}{d \beta} d \beta \end{eqnarray}$ Wie funktionierte diese Substitution? Warum steht einerseits noch y(x) da und andererseits aber auch $\begin{eqnarray} y(\beta) \end{eqnarray}$ ? Ich freue mich über jegliche Ansätze beziehungsweise Erklärungen. Meine Ideen: Fehlen leider bisher. Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Nacheditieren ist übrigens erst nach 100 Beiträgen erlaubt. Viele Grüße Steffen

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