Jensen Ungleichung

04.11.2023, 14:27	Pinahoo2006	Auf diesen Beitrag antworten »
Jensen Ungleichung Meine Frage: Seien $\begin{eqnarray} p_{1}, \ldots, p_{n} \end{eqnarray}$ positive reelle Zahlen mit $\begin{eqnarray} \sum \limits_{i=1}^{n} p_{i}=1 \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie die Jensen-Ungleichung: Für eine konvexe Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ und beliebige reelle Zahlen $\begin{eqnarray} x_{1}, \ldots, x_{n} \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} f\left(\sum \limits_{i=1}^{n} p_{i} x_{i}\right) \leq \sum \limits_{i=1}^{n} p_{i} f\left(x_{i}\right) \end{eqnarray}$ . Verwenden und beweisen Sie auch diesen Hinweis. Hinweis: Eine Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist über einem Intervall $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ genau dann konvex, wenn $\begin{eqnarray} f(t x+(1-t) y) \leq t f(x)+(1-t) f(y) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} t \in(0,1) \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} x, y \in I \end{eqnarray}$ . Wähle $\begin{eqnarray} p_{n}=1-t \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Mir fehlt leider ein Ansatz. Ich würde mich über Hilfe freuen!
04.11.2023, 14:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jensen Ungleichung Versuch es mal mit vollständiger Induktion $\begin{eqnarray} n-1 \to n \end{eqnarray}$ . Dann kannst du den Hinweis direkt anwenden.

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