Pivotelement und Determinante

11.11.2023, 16:39

HiBee123

Pivotelement und Determinante

Hallo liebe Leute Wink

ich häng gerade bei folgendem Problem
Sei $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb{R}^{nxn} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_{[k]} \end{eqnarray*}$ k-te Hauptuntermatrix für k=1,...,n
Sei nun $\begin{eqnarray*} \alpha_k \end{eqnarray*}$ das k-te Pivotelement im Gaußalgorithmus ohne Skalierung und Spaltenpivotisierung. zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \alpha_k\neq 0 \forall k=1,\dots,n \end{eqnarray*}$ gdw $\begin{eqnarray*} det(A_{[k]})\neq 0 \forall k=1,\dots,n \end{eqnarray*}$
Eine Richtung ist mir klar, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha_k =0 \end{eqnarray*}$ ist die entsprechende Determinante nach Laplachschen Entwicklungssatz auch null. Dass heißt aus $\begin{eqnarray*} det(A_{[k]})\neq 0 \forall k=1,\dots,n \end{eqnarray*}$ folgt sofort, dass alle Pivotelemente ungleich Null sein müssen
Aber wieso folgt nun daraus, dass alle Pivotelemente gleich Null sind, dass die Determinanten es auch sein müssen?
Mein Lösungsansatz wäre vollständige Induktion von hinten. Für k=n ist klar dass die Aussage gilt und
dann mit Laplaceschen Entwicklungssatz argumentieren... Aber kann sein, dass das der Holzweg ist.
Würde mich über Tipps freuen smile

Grüße,
eure Hibee

12.11.2023, 12:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von HiBee123
Aber wieso folgt nun daraus, dass alle Pivotelemente gleich Null sind, dass die Determinanten es auch sein müssen?

Richtig ist:

- Ist ein Pivotelement gleich Null, dann ist die Determinante gleich Null.
- Sind alle Pivotelemente ungleich Null, dann ist die Determinante ungleich Null.

Warum redest du nun von "alle Pivotelemente gleich Null"? Kann ich nicht nachvollziehen, und hat auch überhaupt nichts mit der eigentlich nachzuweisenden Aussage zu tun. unglücklich

12.11.2023, 12:59

HiBee123

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Oh ja, Entschuldigung da habe ich mich verschrieben.
Ich meinte natürlich wieso folgt daraus, dass alle Pivotelemente ungleich 0 sind, dass die Determinante auch ungleich null sein muss.
Und hier wäre mein Ansatz die vollständige Induktion.
die Hauptuntermatrix $\begin{eqnarray*} A_{[n]} \end{eqnarray*}$ besteht nur aus einem Element, ist dieses ungleich null, so ist auch die Determinante ungleich null. Und so wollte ich dann auf $\begin{eqnarray*} A_{[n-1]} \end{eqnarray*}$ usw. fortfahren.

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