Beweis über Induktion?

18.11.2023, 13:34	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis über Induktion? Hallo, Für nicht negative reelle Zahlen $\begin{eqnarray} a_1,...,a_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n} a_i \leq 1 \end{eqnarray}$ soll $\begin{eqnarray} \prod_{i=1}^n (1-a_i) \geq 1 - \sum_{i=1}^n a_i \end{eqnarray}$ bewiesen werden. Ich würde das über eine vollständige Induktion angehen, etwa so: Induktionsannahme: $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1-a_1) \geq 1-a_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 \geq 0 \end{eqnarray}$ ist eine wahre Aussage. Induktionsvoraussetzung: Für ein beliebiges aber festes $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ gelte die Behauptung. Induktionsschritt: $\begin{eqnarray} n \rightarrow n+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \prod_{i=1}^{n+1} (1-a_i) = (1-a_{n+1})\prod_{i=1}^{n} (1-a_i) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \geq (1-a_{n+1}) \left( 1 - \sum_{i=1}^n a_i \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \left( 1 - a_{n+1} - \sum_{i=1}^n a_i \right) + a_{n+1}\sum_{i=1}^n a_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \left(1 -\sum_{i=1}^{n+1} a_i \right) + a_{n+1}\sum_{i=1}^n a_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \geq 1 -\sum_{i=1}^{n+1} a_i \end{eqnarray}$ In der zweiten Zeile habe ich die Induktionsvoraussetzung angewendet und in der vorletzten Zeile habe ich ausgenutzt, dass $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n} a_i \leq 1 \end{eqnarray}$ gilt und die Ungleichung nach oben abgeschätzt. Meine Frage an dieser Stelle ist, ob das soweit ok ist
18.11.2023, 16:32	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis über Induktion? Du verwendest an mehreren Stellen implizit, dass für alle $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} 0 \leq a_i \leq 1 \end{eqnarray}$ . Beleg diese Ungleichungen und referenziere diese an den entsprechende Stellen und es ist einwandfrei.
19.11.2023, 11:10	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis über Induktion? Das freut mich. Danke @IfindU
19.11.2023, 19:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man genauer über jeden Beweisschritt nachdenkt, ist die Voraussetzung viel zu streng: Es reicht aus nur das deutlich schwächere $\begin{eqnarray} 0\leq a_n\leq 1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ zu fordern - das mit der Summe ist überzogen. Auf diese Weise hätte man dann übrigens auch den Spezialfall $\begin{eqnarray} -1\leq x < 0 \end{eqnarray}$ der Bernoullischen Ungleichung $\begin{eqnarray} (1+x)^n\geq 1+nx \end{eqnarray}$ mit dabei.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »