Ungleichung ab hinreichend großem Wert zeigen

18.11.2023, 19:26

Malcang

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Ungleichung ab hinreichend großem Wert zeigen

Hallo zusammen smile

smile

Ich betrachte gerade die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 0,9 \cdot \ln(x)\cdot x^{\frac{1}{4}} \leq \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ und suche ein hinreichend großes $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , sodass ich die Ungleichung auch "per Hand" noch gut zeigen kann.
Ich weiß, dass es rechnerisch ab $\begin{eqnarray*} x = 2.416 \end{eqnarray*}$ gilt, aber auch nur von geogebra.
Zeigen konnte ich es indes für $\begin{eqnarray*} x\geq 10^4. \end{eqnarray*}$ Gerne würde ich aber die Grenze möglichst weit drücken, um es per Hand rechnen zu können.
Wie gehe ich da am besten vor?

Edit:
Oh, mit $\begin{eqnarray*} \mathrm{e}^8 \end{eqnarray*}$ klappt das ganz gut:
$\begin{eqnarray*} 0,9\cdot \ln(\mathrm{e}^8)\cdot (\mathrm{e})^{\frac{1}{4}} \leq \sqrt{\mathrm{e}^8} \Leftrightarrow 0,9\cdot 8 \leq \mathrm{e}^2 \end{eqnarray*}$ und das kann man leicht begründen.
Sei nun $\begin{eqnarray*} f(x) = 0,9 \cdot \ln(x)\cdot x^{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = \sqrt(x) \end{eqnarray*}$
Nun müsste ich noch vernünftig begründen, dass $\begin{eqnarray*} f'(x) \leq g'(x) \end{eqnarray*}$ gilt verwirrt

verwirrt

18.11.2023, 20:07

IfindU

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RE: Ungleichung ab hinreichend großem Wert zeigen
Erst einmal: Form doch um zu $\begin{eqnarray*} 0.9 \ln(x) \leq \sqrt[4] x \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} x=e^\alpha \end{eqnarray*}$ ergibt das $\begin{eqnarray*} 0.9 \alpha \leq e^{ \alpha /4 } \end{eqnarray*}$ und mit $\begin{eqnarray*} \beta = \frac \alpha 4 \end{eqnarray*}$ noch "einfacher" $\begin{eqnarray*} 3.6 \beta \leq e^\beta \end{eqnarray*}$ .

Bei dir jetzt also $\begin{eqnarray*} \beta = 2 \end{eqnarray*}$ . Wenn die Ungleichung für $\begin{eqnarray*} \beta_0 = 2 \end{eqnarray*}$ gilt, bleibt nur zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} e^\beta \end{eqnarray*}$ schneller wáchst als $\begin{eqnarray*} 3.6 \beta \end{eqnarray*}$ . Hier ist die Ableitung trivial erledigt und die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 3.6 \leq e^\beta \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \beta \geq \beta_0 = 2 \end{eqnarray*}$ ist "trivial". ( $\begin{eqnarray*} e^\beta \geq e^2 \geq 2^2 = 4 \geq 3.6 \end{eqnarray*}$ ).

Mit $\begin{eqnarray*} e^\beta \geq 1 + \beta + \frac { \beta^2 } 2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \beta \geq 0 \end{eqnarray*}$ , kann man auch versuchen o $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 = 1 - 2.6 \beta + 0.5 \beta^2 \end{eqnarray*}$ zu finden. Leider zeigt die Rechnung, dass der Wert sehr hoch wird. Und die Rechnung wird aufwändiger wenn wir mehr Terme nehmen. Eine geschicktere Abschätzung an der Stelle könnte helfen.

Edit: $\begin{eqnarray*} e^2 \approx 7.389 \end{eqnarray*}$ . Wie begrüdest du "einfach", dass $\begin{eqnarray*} e^2 \geq 7.2 \end{eqnarray*}$ ist? verwirrt

verwirrt

18.11.2023, 20:33

Malcang

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RE: Ungleichung ab hinreichend großem Wert zeigen
Danke IfindU für deine Antwort,

Zitat:

Original von IfindU
Edit: $\begin{eqnarray*} e^2 \approx 7.389 \end{eqnarray*}$ . Wie begrüdest du "einfach", dass $\begin{eqnarray*} e^2 \geq 7.2 \end{eqnarray*}$ ist? verwirrt

verwirrt

Oh, das hätte ich erwähnen sollen. Das hätte ich mit einer Quelle begründet die mir sagt, dass $\begin{eqnarray*} \mathrm{e}>2,71 \end{eqnarray*}$ ist.
Es muss also nicht alles elementar, sondern "nur" begründbar sein. Wobei ich halt nicht davon ausgehe, dass meine Ungleichung schon irgendwo zu finden ist Big Laugh

Big Laugh

19.11.2023, 14:03

IfindU

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RE: Ungleichung ab hinreichend großem Wert zeigen
Was man auch versuchen kann: Es ist $\begin{eqnarray*} 3.6 \beta \leq e^\beta \iff 3.6 ye^{y} \geq -1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y = -\beta \end{eqnarray*}$ . Setzen wir noch $\begin{eqnarray*} x = \frac 1 {-3.6} \end{eqnarray*}$ dann haben wir $\begin{eqnarray*} ye^y \geq x \end{eqnarray*}$ . Da wir $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ negativ suchen, also Gleichheit bei $\begin{eqnarray*} y= W_{-1}(x) \end{eqnarray*}$ .

Man könnte jetzt Abschätzung für die Lambert-W Funkntion suchen.

19.11.2023, 19:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malcang
Ich weiß, dass es rechnerisch ab $\begin{eqnarray*} x = 2.416 \end{eqnarray*}$ gilt, aber auch nur von geogebra.

Du weißt schon, dass dieses deutsche kaufmännische Tausender-Trennzeichen sehr leicht mit dem international üblichen Dezimalpunkt verwechselt werden kann? Ich war schon drauf und dran mein Erstaunen darüber auszudrücken, wie du auf diesen niedrigen Wert kommen kannst...

Schreib also besser $\begin{eqnarray*} x = 2\,416 \end{eqnarray*}$ .

--------------------------------------------------------------------

Ohne LambertW könnte man beispielsweise via $\begin{eqnarray*} x=t^4 \end{eqnarray*}$ die Funktion $\begin{eqnarray*} f(t) = t-3{,}6\ln(t) \end{eqnarray*}$ betrachten, und damit $\begin{eqnarray*} f'(t) = 1-\frac{3{,}6}{t} \end{eqnarray*}$ betrachten: Das sichert, dass Funktion $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t\geq 3{,}6 \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend ist, was z.B. zusammen mit $\begin{eqnarray*} f\left(7{,}011\right) \approx 0{,}00007 > 0 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} f(t)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t\geq 7{,}011 \end{eqnarray*}$ , und damit zur Gültigkeit deiner Ungleichung für $\begin{eqnarray*} x\geq 7{,}011^4\approx 2416{,}13 \end{eqnarray*}$ führt.

P.S. Überhaupt sollte allen die das deutsche Komma als Dezimalpunkt bevorzugen klar sein, dass sie das in $\begin{eqnarray*} \LaTeX \end{eqnarray*}$ besser in geschweifte Klammern fassen, weil ansonsten zuviel Zwischenraum zur ersten Nachkommastelle besteht - Beispiel

$\begin{eqnarray*} 0,9 \end{eqnarray*}$ mit Quelltext 0,9
$\begin{eqnarray*} 0{,}9 \end{eqnarray*}$ mit Quelltext 0{,}9

19.11.2023, 19:36

IfindU

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Malcang
Ich weiß, dass es rechnerisch ab $\begin{eqnarray*} x = 2.416 \end{eqnarray*}$ gilt, aber auch nur von geogebra.

Du weißt schon, dass dieses deutsche kaufmännische Tausender-Trennzeichen sehr leicht mit dem international üblichen Dezimalpunkt verwechselt werden kann? Ich war schon drauf und dran mein Erstaunen darüber auszudrücken, wie du auf diesen niedrigen Wert kommen kannst...

Schreib also besser $\begin{eqnarray*} x = 2\,416 \end{eqnarray*}$ .

Darüber bin ich auch erst gestolpert, weswegen ich da noch dachte $\begin{eqnarray*} e^x \approx 1 + x + x^2/2 \end{eqnarray*}$ sollte sicherlich als Approximation genügen.

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22.11.2023, 17:49

Malcang

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Hallo ihr zwei,

vielen Dank für eure Zeit und bitte entschuldigt die lange Abwesenheit....

HAL, ich hatte in der Tat gedacht, dass im deutschsprachigen Raum der Punkt als Tausendertrennzeichen weit mehr (an)erkannt wird, denn als Dezimaltrenner verwirrt

verwirrt

Klar, auch wenn wir international ausgerichtet sind. Aber schlägt die Konvention denn langsam "um"?

22.11.2023, 18:03

IfindU

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Mein Instinkt ist es sowohl ein einzelnes Komma als auch Punkt als Dezimaltrenner zu sehen. Wenn beides vorkommt, ist es aus Kontext klar, wenn eine mehrfach vorkommt ist es eindeutig was anderes. Ich glaube bei so kleinen Zahlen setzt man einfach keinen Tausender-Trenner. So bin ich es wenigstens gewohnt.

22.11.2023, 18:18

Malcang

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Zitat:

Original von IfindU
Ich glaube bei so kleinen Zahlen setzt man einfach keinen Tausender-Trenner. So bin ich es wenigstens gewohnt.

Das kann ich natürlich gut verstehen.
Vor allem habe ich aber auch den {}-Befehl durch HALs beitrag erst gelernt!

22.11.2023, 18:21

IfindU

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LaTeX hat verschiedene Wege schnnell Pausen zu machen: Mit \hspace{x mm} und x positiv oder negativ ist man am flexibelsten, schnell geht es mit so Befehlen: TeXStack.

22.11.2023, 21:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malcang
HAL, ich hatte in der Tat gedacht, dass im deutschsprachigen Raum der Punkt als Tausendertrennzeichen weit mehr (an)erkannt wird, denn als Dezimaltrenner

Vielleicht im kaufmännischen Bereich - bei mir nicht: Da ist das Komma eher Listentrennzeichen, z.B. in Zeilenvektoren. Die Dreiergruppierungen in großen Zahlen kann man auch schlicht durch etwas größere Zwischenräume erreichen, z.B. $\begin{eqnarray*} 13! =6\,227\,020\,800 \end{eqnarray*}$ .

27.11.2023, 11:18

Malcang

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Hallo zusammen smile

smile

Heute habe ich einen freien Tag und daher endlich genug Zeit, mich ausgiebig mit Mathematik zu beschäftigen smile

smile

HAL, ich sehe leider noch nicht woher die Funktion $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ kommt. Klar, die $\begin{eqnarray*} 3{,}6 \end{eqnarray*}$ kommen von $\begin{eqnarray*} 0{,}9 \cdot \ln(x^4) \end{eqnarray*}$ , aber ich sehe gerade den Zusammenhang nicht unglücklich

unglücklich

Edit: Doch, ich glaube ich hab es.
Ich möchte ja zeigen: $\begin{eqnarray*} 0{,}9\cdot x^{\frac{1}{4}}\cdot\ln(x) \leq x^{\frac{1}{2}} \Leftrightarrow 0\leq x^{\frac{1}{2}}-0{,}9\cdot x^{\frac{1}{4}}\cdot\ln(x). \end{eqnarray*}$

Wir nutzen $\begin{eqnarray*} x:=t^4 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{2}}-0{,}9\cdot x^{\frac{1}{4}}\cdot\ln(x) = t^2 - 0{,}9 \cdot\ln(t^4) = t^2 - 3{,}6\cdot t\cdot\ln(t) = t(t-3{,}6\cdot\ln(t))) \end{eqnarray*}$

Der Fall $\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$ tritt nicht ein, also suchen wir $\begin{eqnarray*} t-3{,}6\cdot\ln(t))\geq 0 \end{eqnarray*}$ und das hast du oben gezeigt.

Danke HAL, das hat mir schon sehr geholfen.

27.11.2023, 12:03

Malcang

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Jetzt fehlt mir nur noch eine gute Möglichkeit, den Ausdruck $\begin{eqnarray*} f(7{,}011)>0 \end{eqnarray*}$ "händisch" abzuschätzen.
Mir würde auch $\begin{eqnarray*} f(8)>0 \end{eqnarray*}$ reichen, aber ich habe mich bisher nur im Kreis gedreht verwirrt

verwirrt

27.11.2023, 13:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malcang
Mir würde auch $\begin{eqnarray*} f(8)>0 \end{eqnarray*}$ reichen, aber ich habe mich bisher nur im Kreis gedreht verwirrt

verwirrt

Was heißt jetzt "händisch abschätzen"? Mit Bleistift und Papier, ohne TR und Logarithmentafeln? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Na gut, machen wir uns den Spaß:

Es ist $\begin{eqnarray*} f(8) = 8-3{,}6\cdot \ln(8) = 8-10{,}8\ln(2) = \frac{2}{5}\left(20-27\ln(2)\right) \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} -\ln\left(1-t\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{t^k}{k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq t< 1 \end{eqnarray*}$ , und damit der möglichen Abschätzung

$\begin{eqnarray*} -\ln\left(1-t\right) \leq t + \frac{t^2}{2} + \sum_{k=3}^{\infty} \frac{t^k}{3} = t + \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3(1-t)} \end{eqnarray*}$ für diese $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$

folgt unmittelbar

$\begin{eqnarray*} \ln(2) = -\ln\left(\frac{1}{2}\right) \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{17}{24} < \frac{20}{27} \end{eqnarray*}$ , und damit $\begin{eqnarray*} f(8)>0 \end{eqnarray*}$ .

Was nicht alles geht so zu Fuß. Bin aber trotzdem froh, dass das Rad schon erfunden ist. smile

smile

27.11.2023, 18:11

Malcang

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HAL, vielen Dank dafür, das hilft mir sehr! Damit ist meine Frage auch völlig beantwortet. Ich danke euch beiden! Freude

Freude

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Malcang
Mir würde auch $\begin{eqnarray*} f(8)>0 \end{eqnarray*}$ reichen, aber ich habe mich bisher nur im Kreis gedreht verwirrt

verwirrt

Was heißt jetzt "händisch abschätzen"? Mit Bleistift und Papier, ohne TR und Logarithmentafeln? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Genau das

Augenzwinkern

Also, es geht um meine Masterarbeit, dort brauche ich diese Ungleichung.
Ich kann ja dort nicht schreiben "Laut wolframalpha gilt diese Ungleichung ab...". Allenfalls (und was ich auch gemacht habe) schreibe ich "mit analytischen Mitteln lässt sich zeigen, dass...".
Wenn mich nun jemand drauf anspricht und fragt, wie ich es denn genau zeigen würde, dann würde ich ihm ab jetzt diesen Weg hier nennen können smile

smile

27.11.2023, 22:25

HAL 9000

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Naja, hier geht es ja nicht um irgendeine komplizierte Ungleichung, die man unbewiesen glauben soll. Sondern um banale Funktionswerte der sehr bekannten Logarithmusfunktion. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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