Integral Wohldefiniertheit Maßtheorie

25.11.2023, 14:56	Bobby Fischer	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Wohldefiniertheit Maßtheorie Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} (X,S, \mu) \end{eqnarray}$ ein Maßraum und $\begin{eqnarray} F=\{f:X->\mathbb R : f \text{ ist einfach und messbar und } f\geq0\} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} f=\sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k\chi_{A_k} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha_k\geq0, A_k \in S \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \chi_{A_k} \end{eqnarray}$ Indikatorfunktionen sei definiert: $\begin{eqnarray} \int_ \! f(x) \, d\mu= \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k\mu(A_k) \end{eqnarray}$ Zeige, dass die Definition unabhängig von der Darstellung von f ist. Meine Ideen: Ich wollte dies per Induktion über $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ zeigen. Für $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ ist alles klar, da für $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ als einfache Funktion nur eine Darstellung obiger Form existiert. Angenommen die Definition gilt nun für $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} f=\sum\limits_{k=1}^{n+1} \alpha_k\chi_{A_k}=\sum\limits_{k=1}^{n+1} \beta_k\chi_{B_k} \end{eqnarray}$ . Die Summen bestehen nun aus $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ Summanden. Es gibt nun $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Möglichkeiten unter diesen $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Summanden auszuwählen, sodass deren Summe wegen Induktionsvoraussetzung gleich ist. Addiert man alle diese erhält man: $\begin{eqnarray} n\sum\limits_{k=1}^{n+1} \alpha_k\mu(A_k)=n\sum\limits_{k=1}^{n+1} \beta_k\mu(B_k) \end{eqnarray}$ und damit die Behauptung. Ist das so korrekt?

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