Markovkette als Differentialgleichung

27.11.2023, 08:41	John1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Markovkette als Differentialgleichung Hallo, zur Herleitung der Chapman-Kolmogorov-Gleichungen haben wir zunächst ein sehr einfaches Beispiel mit nur zwei Zuständen behandelt. Es war nur eine Transition von Zustand 1 nach Zustand 2 mit Rate $\begin{eqnarray} \lambda\cdot \delta t \end{eqnarray}$ möglich. Für den Zustand 1 haben wir die folgende Differenzengleichung: $\begin{eqnarray} \pi_1(t+\delta t) = \pi_1(t)-\lambda \pi_1 (t) \delta t+ o(\delta t) \end{eqnarray}$ Zustand 2: $\begin{eqnarray} \pi_2(t+\delta t) = \pi_2(t)+\lambda \pi_1 (t) \delta t+ o(\delta t) \end{eqnarray}$ Die Frage mag banal sein, aber weshalb wird in der Differenzengleichung für Zustand 1 der Term $\begin{eqnarray} -\lambda\delta t \end{eqnarray}$ abgezogen? Oder anders formuliert, weshalb arbeiten wir hier mit "minus" und nicht mit "1-\lambda" als Gegenwahrscheinlichkeit? Lambda ist ja eine Rate, aber ich verstehe noch nicht ganz, weshalb wir das ganze abziehen? Vielen Dank schon mal für eine Rückmeldung
27.11.2023, 08:52	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Rate kennzeichnet keine Wahrscheinlichkeit, sondern stattdessen die Änderungsgeschwindigkeit der Wahrscheinlichkeit in einem infinitesimal kleinem Zeitintervall. Und wenn sich die eine Wahrscheinlichkeit mit dieser Rate erhöht, muss sich die andere Rate notgedrungen mit dieser Rate vermindern, damit die Gesamtwahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} \pi_1(t)+\pi_2(t)=1 \end{eqnarray}$ zu allen Zeitpunkten $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ gewährleistet ist. Auch bei mehr als zwei Zuständen gilt: Es ist $\begin{eqnarray} \pi_1(t)+\ldots+\pi_n(t)=1 \end{eqnarray}$ , und damit auf die Zeitableitung bezogen $\begin{eqnarray} \pi_1'(t)+\ldots+\pi_n'(t)=0 \end{eqnarray}$ , d.h., die Summe der Änderungsraten muss gleich Null sein.

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