Flächeninhalt Integralrechnung |
| 19.12.2023, 09:57 | Gutgelaunter12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Flächeninhalt Integralrechnung Hallo, ich habe eine etwas ungewöhnlich Frage. Und zwar lernt man ja immer, dass man mittels eines bestimmten Integrals den Flächeninhalt einer Funktion auf einem Intervall bestimmen kann. Nun wurde mir allerdings das Integral als der Grenzwert einer Obersumme bzw Untersumme vermittelt. Mal als Beispiel, bei der Integration von x³ im Intervall von 0 bis 2 ist das Ergebnis, dass der Inhalt des Integrals 4 beträgt. Wenn ich mir nun den Grenzwert mittels Untersumme ansehen, weiß ich,dass der Grenzwert zb gegen 4 geht. Aber streng genommen wird er nie 4 werden, sondern sich nur der 4 annähern. Ist es dann nicht ein Widerspruch zu behaupten, dass man mittels dem Integral den Flächeninhalt exakt bestimmt (3,9999999... ist nicht 4)? Meine Ideen: Leider habe ich keine Idee hierzu, deshalb frage ich. Vielen Dank für die Hilfe! |
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| 19.12.2023, 10:33 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Flächeninhalt Integralrechnung
Das ist die Crux! Die Definition der reellen Zahlen sagt, dass das eben doch der Fall ist. Das wird in der Schule nur oberflächlich vermittelt, so etwas wie ein Dedekindscher Schnitt oder die Epsilontik wird meines Wissens nicht behandelt. Und der Grenzwertbegriff nur ansatzweise. Viele Grüße Steffen |
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| 19.12.2023, 11:38 | Gutgelaunter12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Flächeninhalt Integralrechnung Wäre es möglich, dass etwas auszuführen? Mich interessiert das wirklich ernsthaft! 
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| 19.12.2023, 12:42 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Flächeninhalt Integralrechnung Dazu bin ich als ebenfalls interessierter Laie leider nicht in der Lage. Es gibt aber durchaus Kollegen hier, die das können. Mir wurde hier mal ein gutes Buch dazu empfohlen. Da beiße ich mich zwar immer noch durch, aber es ist schön zu lesen und hilft Dir hier vielleicht auch etwas. |
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| 19.12.2023, 12:59 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn wirklich Interesse daran besteht, reelle Zahlen zu verstehen, dann kann man z.B. akzeptieren, dass reelle Zahlen durch ("konvergente") Zahlenfolgen rationaler Zahlen nicht angenähert werden, sondern dass reelle Zahlen ("konvergente") Zahlenfolgen rationaler Zahlen sind. Bingo ! Die Folge ist die reelle Zahl , die zufällig rational und sogar eine natürliche Zahl ist. Dabei ist noch wichtig, dass zwei reelle Zahlen, also zwei Folgen rationaler Zahlen, genau dann gleich sind, wenn sie sich nur um eine Nullfolge unterscheiden. Und auch wichtig, "konvergente" Folgen konvergieren nicht in rationalen Zahlen sondern in reellen Zahlen. So etwas nennt man auch "Cauchyfolgen" rationaler Zahlen. Der Experte sagt: Reelle Zahlen sind Cauchfolgen rationaler Zahlen modulo Nullfolgen rationaler Zahlen. (Das war nun hoffentlich nicht zu viel des Guten.) |
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| 19.12.2023, 17:30 | Luftikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zur Ergänzung (die Frage hat ja eigentlich nichts mit Integralen am Hut): beim Wert handelt sich um einen sogenannten "periodischen Dezimalbruch", und diese sind i.a. immer rationale Zahlen (~Brüche). Das lost man rechnerisch allgemein wie folgt auf: Der Faktor entspricht der "Periodenlänge" (=1). Jetzt subtrahiert man die Zahl auf beiden Seiten, also: |
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| 19.12.2023, 17:41 | Gutgelaunter12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt muss ich nochmal ganz blöd nachfragen: In meinem alten Mathelehrbuch (Papula, Mathematik für Ing.) steht schon drin, dass der Grenzübergang x-> x0 bedeutet, dass die Stelle x0 beliebig angenähert wird, dennoch niemals erreicht wird. Insofern verstehe ich es leider immer noch nicht, warum man dann mit einem Integral einen exakten Wert erhält, wenn man das Integral genauso auch als Ober-oder Untersumme mit einem Grenzübergang n-> unendlich definiert. Denn dann kommen wir dem Grenzwert doch auch nur beliebig nahe, ohne ihn exakt zu erreichen. |
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| 19.12.2023, 18:01 | Luftikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann hast du offenbar noch ein Verständnisproblem mit dem "Limes"-Begriff.
"Beliebig" bedeutet hier das "Aktual"-Unendliche, d.h. mit "unendlich vielen endlichen Schritten, die beliebig klein sind". Das kann dann etwas Endliches ergeben. So macht z.B. mathematisch keinen Sinn, aber , weil der Bruch für jeden Wert Sinn macht und hier immer 1 ist. |
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| 19.12.2023, 18:16 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn in einem schlechten alten Buch etwas falsches steht, dann muss man sich ein gutes neues Buch kaufen. Steffen Bühler hat "Zahlen" von Ebbinghaus et al. empfohlen, dem kann ich mich nur anschließen. Es geht sicher auch einfacher, aber wer viel wissen will, der wird hier gut bedient : https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-58155-7#toc |
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| 19.12.2023, 18:45 | Gutgelaunter12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schade, mir hatte das Buch damals im Studium viel geholfen.... Bin aber auch nur ein Ing, kein Mathematiker.... Aber mal ganz blöd gefragt: wenn ein Grenzübergang nicht eine beliebige Annäherung an eine Zahl ist, sondern exakt der Zahl entspricht, die der Grenzwert ist, wie funktioniert das dann bei Grenzübergängen, die gegen unendlich gehen? Unendlich ist doch eigentlich auch keine reelle Zahl.... |
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| 19.12.2023, 18:52 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Reelle Zahlen sind konvergente Folgen rationaler Zahlen (modulo Nullfolgen). Eine Folge, die gegen unendlich geht, heißt (bestimmt) divergent, weil sie eben nicht konvergiert, also keine reelle Zahl ist. Scherz am Rande: Der Unterschied zwischen einem Mathematiker und einem Ingenieur besteht darin, dass der Mathematiker zuerst die Konvergenz beweist und dann den Grenzwert berechnet, ein Ingenieur rechnet sofort los. Wenn eine Folge nicht konvergiert, kann man sich das Rechnen sparen. |
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| 19.12.2023, 19:06 | Luftikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zur Ergänzung: der Grenzwert ist eben nur der Zahl, wenn er "konvergiert". Muss er aber nicht. Ausser der bestimmen Divergenz gibt es noch den Fall unbestimmter Divergenz, zB.: |
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| 19.12.2023, 19:16 | Gutgelaunter12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach klar, wenn eine Folge gegen unendlich geht, divergiert diese. Stimmt ja. Dein Witz ist übrigens Realität. Wenn man im Ing Studium höhere Mathematik Vorlesungen besucht, sind diese schon sehr anwendungsbezogen. Deshalb half mir die von mir genannte Literatur auch damals so gut im Studium. Leider bleiben dann aber immer wieder Fragen, die die Theorie betreffen, offen (Klar, sowas muss ein Ing auch nicht wissen, um seine Arbeit zu beherrschen. Interessiert ist man aber trotzdem des öfteren). |
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| 19.12.2023, 19:21 | Luftikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was man also hier in Hinsicht deiner Ausgangsfrage feststellen kann , ist folgendes: jeder periodische Dezimalbruch entspricht einer konvergenten Folge rationaler Zahlen gegen eine rationale Zahl. Diese kann insbesondere auch eine ganze Zahl sein, wie in deinem Falle die 4. |
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| 19.12.2023, 20:01 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mein "Scherz" entspringt tatsächlich der Erfahrung im Umgang mit einem E-Techniker. Er war mir zeitlich in der Funktionentheorie voraus, weil er viel gerechnet hat, und er meinte, in der Natur konvergiert sowieso alles, was interessant ist. Im Laufe der Zeit habe ich ihn theoretisch weit überholt, das hat ihn aber nicht daran gehindert, imposante Bauwerke zu realisieren. |
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| 19.12.2023, 20:05 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Auch unser Mathedozent im Elektrotechnikstudium hat immer über die Ingenieure gelästert, die mal eben nach Taylor entwickeln und nach dem dritten Glied abbrechen. „Ohne auf Konvergenz zu prüfen! Und dann stürzt die Brücke ein!“ |
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| 19.12.2023, 20:14 | Luftikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, zumindestens die Natur hat dem Mathematiker viel voraus: offenbar kann sie z.B. die Bewegungsgleichungen des Vielkörperproblems unseres Sonnensystems jederzeit exakt lösen, jeder Himmelskörper weiss, wo er zu jeder Zeit exakt zu stehen hat.
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| 19.12.2023, 20:49 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oder sie kriegt ein animiertes Raytracing mit Reflexionen und Farbverläufen in Echtzeit hin. |
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| 19.12.2023, 22:00 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Natur macht einfach nur einen kleinen Teil von dem, was die Naturgesetze zulassen. Sie weiß nicht, was sie tut und wie sie es tut, warum und wozu ist ihr vollkommen egal. Wenn wir Menschen Informationen haben wollen, brauchen wir Mathematik, und damit fangen die interessanten Probleme an. Raumzeittheorie und Elektrotechnik braucht z.B. Riemannsche Geometrie, damit wir ein bisschen von der Welt verstehen, in der wir leben. Zurück zur Ausgangsfrage: Ohne Integrale versteht man Funktionen nicht, ohne Zahlen versteht man gar nichts. Also "Zahlen" von Ebbinghaus et al. studieren, das ist ein guter Ansatz. |
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| 20.12.2023, 21:36 | Gutgelaunter12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tut mir Leid, dass ich das ganze hier nochmal hoch hole, aber heute habe ich mir nochmal darüber Gedanken gemacht und versucht das ganze zu verstehen. Was mir immer noch nicht klar wird, ist, wie zb die 4 als reelle Zahl konstruiert wird. Wie kann sie ein Grenzwert einer rationalen Folge sein? Mein Problem liegt vermutlich im Grenzwertbegriff selbst. Angenommen, ich betrachte lim n-> unendlich von 1/n . Dann konvergiert das ganze gegen 0, klar. Aber es wird nie Null werden! Und ein ähnliches Problem habe ich auch noch bei dem gestern angesprochenen Grenzwert, dass 3,99999999.... nicht gleich 4 ist. Versteht ihr, was ich meine? Ich will hier auch nicht Trollen, nicht das es falsch verstanden wird. Ich will es einfach nur verstehen. PS: Langfristig werde ich mir natürlich mal das gestern empfohlene Buch besorgen. |
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| 21.12.2023, 07:21 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist ganz einfach so, dass eine reelle Zahl jede Folge ist, die denselben Grenzwert hat. Die reelle Zahl 0 ist die Gesamtheit aller Nullfolgen. Die reelle Zahl 4 ist die Gesamtheit aller Vierfolgen. ist zufällig eine natürliche reelle Zahl. ist nicht rational, sie ist als reelle Zahl die Gesamtheit aller Zahlenfolgen, deren positiver Grenzwert g die Eigenschaft hat. Jede gegen a konvergente Folge reeller Zahlen ist ein Vertreter für die reelle Zahl a. Eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert a ist kein Prozess und keine Konstruktionsvorschrift sondern vertritt die reelle Zahl a. Wer von Annäherung spricht kann nicht verstehen, was reelle Zahlen sind. Konvergente Folgen sind keine Näherungen sondern unendliche geordnete Mengen von Zahlen. Dezimalzahlen sind konvergente Zahlenfolgen, also reelle Zahlen. Lehrer stellen das leider oft falsch dar, weil sie es selbst nicht verstehen. Ich hatte in der Schule jahrelang Probleme mit Physik, weil der Physiklehrer die Momentangeschwindigkeit viel zu kompliziert eingeführt hat bevor in Mathematik Ableitungen in der Differentialrechnung besprochen wurden. |
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| 21.12.2023, 13:54 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielleicht so: 4 ist nur eine abkürzende Schreibweise für die Zahl 3,999.... wo die 9 unendlich oft wiederholt wird. |
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| 21.12.2023, 14:18 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das erklärt nicht, wie man von der Folge 3,999... zur Zahl 4 kommt. Ich setze konvergente Folgen reeller Zahlen mit reellen Zahlen gleich, deshalb ist 3,999...=4. |
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| 21.12.2023, 15:32 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Edmund Weitz hat dazu auch ein Video: https://www.youtube.com/@WeitzHAWHamburg Da lernt man u.a., dass in der Nichtstandard-Analysis 3,999 ... kleiner als 4 ist (sein kann). |
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| 21.12.2023, 18:33 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wahrlich wir leben (trotz PISA) in glücklichen Zeiten, wo jeder interessierte Schüler mehr wissen kann als als die besten Mathematiker vor 200 Jahren. https://www.youtube.com/watch?v=6Fj--9gQ1Qo&t=1155s Die Nichtstandardanalysis ändert nichts an den reellen Zahlen, also ist nach wie vor . Hier irrt willyengland. Nichtstandardanalysis wird auch bei Ebbinghaus et al. "Zahlen" Kapitel 12 von A.Prestel besprochen. |
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| 22.12.2023, 09:57 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jede reelle Zahl ist darstellbar als Dezimalzahl, das ist eine unendliche Reihe, also eine unendliche Folge. . Jede reelle Zahl ist also eine Dezimalzahl mit unendlich vielen Ziffern, eine unendliche Summe, eine unendliche Folge und vieles mehr. Reelle Zahlen sind Grenzwerte von Folgen, also ist z.B. auch , denn für den Grenzwert kommt es nicht auf den Anfang einer Folge an. Wir stellen uns vor, dass eine jede reelle Zahl existiert, sie kann und muss nicht als Dezimalzahl aufgeschrieben werden. Es würde zu lange dauern, unendlich viele Ziffern aufzuschreiben, zu sprechen oder zu denken. Rationale Zahlen sind als Dezimalzahlen periodisch, irrationale Zahlen sind nicht periodisch. Jede reelle Zahl hat ein Vorzeichen und einen Wert, das ist ihr Abstand zum Nullpunkt. |
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| 23.12.2023, 10:28 | Gutgelaunter12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erst einmal vielen Dank für die Ausführungen hier!!! Hab noch versucht mir Gedanken dazu gemacht und auch das genannte Video gesehen. Die Vier als reelle Zahl inform einer Nullfolge klingt für mich jetzt nicht abwegig. Somit ich immer noch Schwierigkeiten habe, ist, die Vier reell als Grenzwert zu sehen. Klingt vielleicht blöd, aber irgendwie wäre dann die Vier als natürliche Zahl für mich ungleich der Vier als reelle Zahl, da diese dann zb infinitessimal kleiner als dir natürliche Vier wäre. Da habe ich gedanklich tatsächlich ein Problem. |
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| 23.12.2023, 11:55 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Reelle Zahlen sind reell konvergente Folgen rationaler Zahlen. Zwei reelle Zahlen sind genau dann gleich, wenn sie sich nur um eine Nullfolge unterscheiden. Typische Vertreter für rationale reelle Zahlen q sind die konstanten Folgen (q,q,q,...), also ist 4=(4,4,4,...). Typische Vertreter für irrationale reelle Zahlen sind nichtperiodische Dezimalzahlen. Mit diesen Vertretern hat man alle reellen Zahlen eindeutig erfasst. Infinitesimale gibt es in reellen Zahlen nicht. |
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