Grenzwert a_n = n*a^n für |a|<1

21.12.2023, 09:25

IsomorphicIsengard

Grenzwert a_n = n*a^n für |a|<1

Meine Frage:
Hallo Zusammen,

im Rahmen einer anderen Aufgabe stoß ich auf die Folge:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{(n+1)*a^n}{1-a} \end{eqnarray*}$

Ziel ist es zu zeigen, dass die Folge für feste
$\begin{eqnarray*} | a | < 1 \end{eqnarray*}$
gegen 0 konvergiert.

Es ist graphisch zu sehen, dass die Folge gegen 0 konvergiert. Ebenso ist es einleuchtend, dass der Term a^n (|a|<1) für große n in einen Schritt schneller abnimmt als n+1 zumimmt.

Jedoch fehlt mir irgendwie eine schöne Idee / Lösung.

Wie der Idee zu entnehmen, scheitere ich an dem Term n*a^n, für welchen ich keinerlei Idee habe, wie ich für Ihn die Konvergenz zeigen kann.

Für eine Idee / Abschätzung wäre ich sehr Dankbar.

Meine Ideen:
Im ersten Schritt teilen wir das Ganze mal auf:

$\begin{eqnarray*} <br /> a_n = \frac{1}{1-a} * na^n * a^n<br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt haben wir eine Konstante, den konvergenden Term a^n und den Term b_n = n*a^n, für welchen die konvergenz noch offen ist. Sollten alle davon konvergieren, können wir die Grenzwerte ja einfach multiplizieren.

Mir macht nun der Faktor b_n = n*a^n Probleme, da ich keine Abschätzung habe, welche mir weiter helfen könnte.

Edit mY: LaTeX berichtigt.

21.12.2023, 16:52

mYthos

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RE: Grenzwert a_n = n*a^n für |a|<1

Zitat:

Original von IsomorphicIsengard
...
Meine Ideen:
Im ersten Schritt teilen wir das Ganze mal auf:

$\begin{eqnarray*} <br /> a_n = \frac{1}{1-a} * na^n * a^n<br /> \end{eqnarray*}$
...

Da hast du falsch multipliziert. Es entstehen nicht 3 Faktoren, sondern nur die beiden:
Die Konstante und dann $\begin{eqnarray*} n \cdot a^n \color \red + \color \black a^n \end{eqnarray*}$
Davon der Grenzwert - das ist noch eine andere Geschichte ...

EDIT:

Setze anstatt 1 - a = r , --> r > 1 immer, es muss außerdem (wegen der Potenz) a > 0 sein.

Der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac n {r^n} \end{eqnarray*}$ ergibt sich mittels L'Hospital zu Null.

Ohne L'Hospital lässt sich der Nenner in eine Potenzreihe zerlegen und dann durch n kürzen (im Zähler steht danach 1).
Auch danach geht der Nenner über alle Grenzen und der Bruch somit nach Null.

Auch der Plot der gesamten Funktion zeigt asymptotisches Verhalten zur positiven x-Achse, dies bestätigt mithin den Grenzwert 0:

[attach]57424[/attach]

mY+

22.12.2023, 10:57

HAL 9000

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Eine mögliche elementare Nachweismöglichkeit:

Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{n+1}{n}a \end{eqnarray*}$ . Für eine beliebige Zahl $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |a|< q<1 \end{eqnarray*}$ gilt nun $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n}|a| \leq q \end{eqnarray*}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray*} n\geq \frac{|a|}{q-|a|} \end{eqnarray*}$ . Ok, mit $\begin{eqnarray*} n_0:=\left\lceil \frac{|a|}{q-|a|}\right\rceil \end{eqnarray*}$ folgt daraus dann (per Induktion)

$\begin{eqnarray*} \left|a_n\right| \leq \left|a_{n_0}\right|\cdot q^{n-n_0} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ ,

d.h. unsere Folge wird (ab einem gewissen Index) durch eine geometrische Nullfolge majorisiert, und muss damit selbst auch eine Nullfolge sein.

19.01.2024, 23:42

trancelocation

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Da $\begin{eqnarray*} |a|<1 \end{eqnarray*}$ , gibt es ein $\begin{eqnarray*} p>0 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} |a|= \frac 1{1+p} \end{eqnarray*}$

Weiterhin gilt für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ aufgrund der binomischen Formel

$\begin{eqnarray*} (1+p)^n > \binom n2 p^2 \end{eqnarray*}$

Damit hast du

$\begin{eqnarray*} n|a^n| = \frac n{(1+p)^n}\stackrel{n\geq 2}{<} \frac n{\binom n2 p^2}= \frac 2{p^2(n-1)}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0 \end{eqnarray*}$

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