Basiswechsel

21.12.2023, 12:24	wechsler	Auf diesen Beitrag antworten »
Basiswechsel Hallo, ich habe folgende Frage zum Thema Basiswechsel : Angenommen man hat eine Basis des IR³ mit den Basisvektoren b1,b2 und b3 gegeben und ebenso eine 3x3 Abbildungsmatrix A. Wenn man nun A durch eine Matrix M bezüglich der oben erwähnten Basis ausdrücken möchte, kann man dann einfach b1,b2 und b3 spaltenweise in eine Matrix B schreiben und damit die Gleichung $\begin{eqnarray} B \cdot M = A \end{eqnarray}$ lösen, indem man die Inverse von B bestimmt und somit $\begin{eqnarray} M=B^{-1} \cdot A \end{eqnarray}$ erhält ?
21.12.2023, 17:55	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basiswechsel Nach meiner Ansicht müßte man die Frage noch etwas präzisieren. Wir haben einmal das System E zur Standardbasis $\begin{eqnarray} \left[\vec{e_{1}},\vec{e_{2}},\vec{e_{3}} \right] \end{eqnarray}$ und andererseits das System B zur Basis $\begin{eqnarray} \left[\vec{b_{1}},\vec{b_{2}},\vec{b_{3}} \right] \end{eqnarray}$ - Auf welches System bezieht sich die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ? (vermutlich System E) - Auf welches System beziehen sich die Koordinaten von Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ , die der Abbildung durch $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ unterzogen werden sollen? (vermutlich System B) - Auf welches System sollen sich die Koordinaten der Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{v}' \end{eqnarray}$ nach der Abbildung durch $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ beziehen? (vermutlich wieder System B) Unter diesen Vermutungen müßte man die Koordinaten von $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ zunächst in Koordinaten bezüglich System E umrechnen, dann die Abbildung $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ durchführen, dann das Ergebnis wieder in Koordinaten bezüglich System B zurückrechnen. Zu rechen wäre also: $\begin{eqnarray} \vec{v}'=\underbrace{B^{-1}\cdot A\cdot B }_{M}\cdot \vec{v} \end{eqnarray}$
22.12.2023, 08:53	wechsler	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort. Um das Ganze etwas zu konkretisieren, schicke ich mal den Originallaut der Aufgabe im Anhang. Es geht um den Aufgabenteil d). Als Abbildungsmatrix A für die erwähnte Abbildung f°g kam ich auf $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 28 & 6 & 6 \\ 3 & 4 & 8 \\ 13 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Als Inverse der aus den gegebenen Basisvektoren bestehenden Matrix B erhielt ich $\begin{eqnarray} B^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Muss ich also jetzt tatsächlich das Produkt dieser beiden Matrizen nochmal mit B multiplizieren ?
22.12.2023, 15:43	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist in Ordnung, für $\begin{eqnarray} B^{-1} \end{eqnarray}$ bekomme ich aber etwas anderes heraus. Du hast da anscheinend $\begin{eqnarray} \vec{b_{1} } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{b_{3} } \end{eqnarray}$ vertauscht. Jedenfalls empfehle ich jetzt, dass Du als nächstes die Matrix $\begin{eqnarray} M=B^{-1}\cdot A\cdot B \end{eqnarray}$ berechnest (mit dem richtigen $\begin{eqnarray} B^{-1} \end{eqnarray}$ freilich) und das Ergebnis überprüfst anhand des Beispiels aus Aufgabe c).
24.12.2023, 14:17	wechsler	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Ergebnisse: Mit $\begin{eqnarray} B^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ komme ich dann auf $\begin{eqnarray} M=B^{-1}\cdot A\cdot B = \begin{pmatrix} 16 & 15 & 13 \\ -1 & -8 & -10 \\ 25 & 27 & 25 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zum Verständnis: Wenn man den mit der Standardbasis erzeugten Vektor $\begin{eqnarray} \vec{v} =\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit M multipliziert, dann bedeutet das für $\begin{eqnarray} B^{-1}\cdot A\cdot B \cdot \vec{v} \end{eqnarray}$ von rechts nach links gelesen doch : 1.) v wird durch Linksmultiplikation von B durch die Basisvektoren b1,b2 und b3 ausgedrückt. 2.) Der an die neue Basis angepasste Vektor wird durch A auf einen Vektor vA abgebildet. 3.) Da die Abbildungsmatrix A jedoch noch an die Standardbasis (alte Basis) angepasst war, hat die Inverse von B dann abschließend noch die Aufgabe den Vektor vA durch Linksmultiplikation wieder durch die neue Basis auszudrücken, um somit vB zu erhalten. Sind meine Gedanken bis hierhin korrekt und falls ja, wie könnte ich jetzt noch eine Probe durchführen ?
24.12.2023, 16:12	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrix $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ kann ich bestätigen. Meine Interpretation zum Verständnis fällt aber etwas anders aus. Der Vektor $\begin{eqnarray} \vec{v} =\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , dessen Koordinaten sich auf die Standardbasis beziehen, wird nicht mit $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ , sondern mit $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ multipliziert, um die gewünschte Abbildung zu erhalten. Ergebnis ist $\begin{eqnarray} \vec{v'} =\begin{pmatrix} 68 \\ 18 \\ 29 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Möchte ich dieselbe Abbildung in Koordinaten zur Basis B ausführen, brauche ich den Vektor $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ in Koordinaten zur Basis B. Diese wären $\begin{eqnarray} B^{-1}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Damit die Abbildung ausgeführt ergibt $\begin{eqnarray} M \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 29 \\ -11 \\ 50 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , also korrekt die Koordinaten des obigen $\begin{eqnarray} \vec{v'} =\begin{pmatrix} 68 \\ 18 \\ 29 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bezogen auf die Basis B. Kurz gesagt: Es kommt darauf an, auf welche Basis sich die Koordinaten von Vektoren beziehen, die abgebildet werden sollen. Je nachdem multipliziert man entweder mit $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ oder mit $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ . Das Ergebnis sind dann jeweils wieder Koordinaten bezüglich des Systems, mit dem man reingegangen ist. $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ rechnet B-Koordinaten in E-Koordinaten um. $\begin{eqnarray} B^{-1} \end{eqnarray}$ rechnet E-Koordinaten in B-Koordinaten um.
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