Grenzwert "berechnen"

15.01.2024, 13:40

MMchen60

Grenzwert "berechnen"

Liebe Forumsgemeinde,
wie "berechnet" man den Grenzuwert gemäß Anhang. Mir ist klar, dass $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ langasmer steigt als n! und damit der Grenzwert = 0 ist. Aber "berechnen" wie?
Vielen Dank für Antwort.-

15.01.2024, 14:16

G150124

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RE: Grenzwert "berechnen".
Quotientenkriterium anwenden:

(2^(n+1)*n!)/(n!*(n+1)*2^n)

15.01.2024, 14:17

Leopold

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Man setzt ein paar Werte ein und bekommt sofort eine Vermutung.

Man kann es so machen:

Die Folge $\begin{align*} \left( a_n \right)_{n \geq 0} \end{align*}$ mit $\begin{align*} a_n = \frac{2^n}{n!} \end{align*}$ ist durch 2 nach oben beschränkt. Es gilt nämlich:

$\begin{align*} a_0 = 1 \, , \ \ a_1 = 2 \, , \ \ a_2 = 2 \end{align*}$

Und für $\begin{align*} n \geq 3 \end{align*}$ schließt man:

$\begin{align*} a_n < 2 \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{2^n}{n!} < 2 \ \ \Leftrightarrow \ \ 2^{n-1} \leq n! \end{align*}$

Die letzte Ungleichung ist für $\begin{align*} n \geq 3 \end{align*}$ aber offenbar richtig:

$\begin{align*} 1 \underbrace{\cdot 2 \cdot 2 \cdots 2}_{n-1 \ \text{Faktoren}} \leq 1 \underbrace{\cdot 2 \cdot 3 \cdots n}_{n-1 \ \text{Faktoren}} \end{align*}$

Wer es formaler haben will, soll das mit vollständiger Induktion beweisen.

Nun laß in

$\begin{align*} a_{n+1} = \frac{2}{n+1} \cdot a_n \leq \frac{2}{n+1} \cdot 2 \end{align*}$

$\begin{align*} n \to \infty \end{align*}$ gehen.

15.01.2024, 14:20

schneemanni

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Womöglich helfen Abschätzungszusammenhänge zwischen Fakultäten und Exponentialtermen, so wie die hier hergeleitete, obere Schranke von n! :

math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node26.html

15.01.2024, 14:20

Elvis

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Einfach abschätzen geht auch, weil die Potenzen von 2 immer nur n Faktoren 2 haben werden die n Faktoren von n! (Fakultät) immer größer, also wird der Bruch immer kleiner, bleibt dabei aber positiv. Das kann nur streng monoton fallend gegen 0 gehen.

15.01.2024, 14:28

Leopold

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Zitat:

Original von Elvis
Das kann nur streng monoton fallend gegen 0 gehen.

In dieser Allgemeinheit ist das nicht korrekt. Man muß hier schon konkret auf die Qualität des Wachstums von Zähler und Nenner eingehen.

15.01.2024, 16:05

MMchen60

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Elvis
Das kann nur streng monoton fallend gegen 0 gehen.

In dieser Allgemeinheit ist das nicht korrekt. Man muß hier schon konkret auf die Qualität des Wachstums von Zähler und Nenner eingehen.

Das mit dem Werte einsetzen und dem Kriterium was schneller und was langsamer steigt, das weiß ich selbst. Es um die Formulierung berechnen, also Formleumstellung um so etwas zu sehgen.

15.01.2024, 17:02

Helferlein

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Wenn es Dir wirklich nur ums Berechnen geht:
Angenommen es existiert ein Grenzwert. Dann gilt für $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{2^n}n \end{eqnarray*}$ die Rekursion $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac 2{n+1}a_n \end{eqnarray*}$ und somit für den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_ {n\to \infty} a_{n+1}=\lim_{n \to \infty} \frac 2{n+1}a_n=\lim_{n \to \infty} \frac 2{n+1} \cdot \lim_{n \to \infty}a_n=0 \end{eqnarray*}$

Problem dabei ist halt, dass Du nun die möglichen Grenzwerte eingeschränkt hast, aber nicht beweisen hast, dass die Folge konvergiert. Eine ähnliche Argumentation würde nämlich z.B. auf die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n \end{eqnarray*}$ zutreffen.

16.01.2024, 09:31

HAL 9000

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Interessant, wie viele Varianten für dieses Problem vorgestellt werden. Am ehesten tendiere ich zu der von Leopold, etwas gestrafft: Aus der für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ gültigen Abschätzung

$\begin{eqnarray*} n! = 1\cdot \left(2\cdot 3\cdot\ldots\cdot (n-1)\right)\cdot n \geq 2^{n-2}n \end{eqnarray*}$ ,

folgt das Sandwich $\begin{eqnarray*} 0 < \frac{2^n}{n!} \leq \frac{2^n}{2^{n-2}n} = \frac{4}{n} \end{eqnarray*}$ , und damit Grenzwert 0 für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ .

Ein weit weniger trivialer Grenzwert im Zusammenhang mit $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ wäre: Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{n^n}{e^n\cdot n!} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

16.01.2024, 15:28

Elvis

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Mit der Stirlingschen Formel bleibt $\begin{eqnarray*} \frac 1{\sqrt {2 \pi n}} \end{eqnarray*}$ übrig, und das geht wieder mal gegen 0.

Die Formel hätte mir auch schon bei der ersten Frage einfallen können. smile

16.01.2024, 16:41

HAL 9000

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Zum Glück geht die Abschätzung mit Stirling in die "richtige" Richtung, d.h. $\begin{eqnarray*} n! > \sqrt{2\pi}~ n^{n+\frac{1}{2}}\exp\left(-n\right) \end{eqnarray*}$ .

Für den Nachweis von $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{n^{n+\frac{1}{2}}}{e^n\cdot n!} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \end{eqnarray*}$ braucht man für ein komplettes Sandwich dann noch was in der anderen Richtung, wie etwa $\begin{eqnarray*} n! < \sqrt{2\pi}~ n^{n+\frac{1}{2}}\exp\left(-n+\frac{1}{12n}\right) \end{eqnarray*}$ .

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