Erwartungswert berechnen

16.01.2024, 23:02	Karlos	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert berechnen Meine Frage: Gegeben sei der Wahrscheinlichkeitsraum: $\begin{eqnarray} (\left[0,1\right] , B\left[0,1\right] , U[0,1]) \end{eqnarray}$ mit Boresigmaalgebra und Gleichverteilung. Betrachte Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_n= \mathbb{1}_{[0,\frac{1}{n}]} \end{eqnarray}$ Jetzt soll der Erwartungswert von X_n berechnet werden. Hierfür habe ich 2 verschiedene Definitionen, die unterschiedliche Ergebnisse liefern: 1) $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(X_n)=\int_{0}^{\frac{1}{n}} \! X_n(\omega)f(\omega) \, d\omega=\int_{0}^{\frac{1}{n}} \! 1\cdot1 \, d\omega = \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ und 2) $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(X_n)=\int_{0}^{\frac{1}{n}} \! \omega f(\omega) \, d\omega=\int_{0}^{\frac{1}{n}} \! \omega\cdot1 \, d\omega = \frac{1}{2n^2} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Was übersehe ich hier?
16.01.2024, 23:52	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
In aller Kürze: 1) ist richtig, 2) ist falsch. Ausführlicher: Bei 2) hast du was komplett durcheinander gebracht - fangen wir weit vorn an: Es ist $\begin{eqnarray} E(X) = \int\limits_{\Omega} X(\omega) ~ \dd P(\omega)\qquad (1) \end{eqnarray}$ die direkte Definition des Erwartungswertes. Falls $\begin{eqnarray} \Omega\subseteq\mathbb{R} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ eine Dichte $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bzgl. des Lebesgue-Maßes besitzt (wie hier), dann wird daraus $\begin{eqnarray} E(X) = \int\limits_{\Omega} X(\omega)f(\omega) ~ \dd\omega\qquad (2) \end{eqnarray}$ , das entspricht deinem ersten Weg, der somit Ok ist. Eine weitere Möglichkeit ist, nicht über $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ bzgl. $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ , sondern über das durch $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ induzierte Bildmaß $\begin{eqnarray} P_X:=P\circ X^{-1} \end{eqnarray}$ bzgl. $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ zu integrieren - das führt zur Formel $\begin{eqnarray} E(X) = \int\limits_{\mathbb{R}} x ~ \dd P_X(x)\qquad (3) \end{eqnarray}$ . Besitzt dieses Bildmaß eine Dichte $\begin{eqnarray} f_X \end{eqnarray}$ bzgl. des Lebesgue-Maßes (was hier bei deiner Indikator-Zufallsgröße, die nur die zwei Werte 0 und 1 annehmen kann und damit diskret ist, natürlich NICHT zutrifft!!!), dann kann man rechnen $\begin{eqnarray} E(X) = \int\limits_{\mathbb{R}} xf_X(x) ~ \dd x\qquad (4) \end{eqnarray}$ . D.h. Formel (4) ist hier bei deinem $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ nicht anwendbar, weil es schlicht gar keine Lebesgue-Dichte $\begin{eqnarray} f_{X_n} \end{eqnarray}$ gibt - du hast sie fatalerweise mit der Dichte $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ des W-Maßes $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ verwechselt.

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